Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項的和為S_n，且{

Sn

n

}是等差數(shù)列，已知a₁=1，

S2

2

+

S3

3

+

S4

4

=12．
（Ⅰ）求{a_n}的通項公式a_n；
（Ⅱ）當(dāng)n≥2時，a_n+1+

λ

an

≥λ-140恒成立，求λ的取值范圍．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（I）由于{

Sn

n

}是等差數(shù)列，a₁=1，

S2

2

+

S3

3

+

S4

4

=12．可得3×

S3

3

=12，利用等差數(shù)列的通項公式可得

S3

3

=

S1

1

+d（3-1），解得d=

3

2

．可得S_n=

3

2

n2-

1

2

n．
利用a_n=S_n-S_n-1即可得出．
（II）a_n+1+

λ

an

≥λ-140化為

(n+47)(3n-2)

n-1

≥λ，令n-1=t≥1，則

(n+47)(3n-2)

n-1

=

(t+48)(3t+1)

t

=3t+

48

t

+145，再利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．

解答： 解：（I）∵{

Sn

n

}是等差數(shù)列，a₁=1，

S2

2

+

S3

3

+

S4

4

=12．
∴3×

S3

3

=12，∴

S3

3

=4．
∴

S3

3

=

S1

1

+d（3-1），即4=1+2d，解得d=

3

2

．
∴

Sn

n

=1+

3

2

(n-1)，
∴S_n=

3

2

n2-

1

2

n．
∴a_n=S_n-S_n-1=

3

2

n2-

1

2

n-[

3

2

(n-1)2-

1

2

(n-1)]=3n-2（n≥2），
當(dāng)n=1時，也成立．
∴a_n=3n-2．
（II）a_n+1+

λ

an

≥λ-140化為3n+141+

λ

3n-2

≥λ，化為

(n+47)(3n-2)

n-1

≥λ，
令n-1=t≥1，則

(n+47)(3n-2)

n-1

=

(t+48)(3t+1)

t

=3t+

48

t

+145≥3×2

t• 16 t

+145=169，當(dāng)t=4，即n=5時，取等號．
∴λ≤169．

點評：本題考查了等差數(shù)列的通項公式及其性質(zhì)、遞推式的應(yīng)用、基本不等式的性質(zhì)，考查了恒成立問題的等價轉(zhuǎn)化方法，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．