Question

12．下表提供了某廠節(jié)能降耗技術改造后生產甲產品過程中記錄的產量x（噸）與相應的生產能耗y（噸標準煤）的幾組對照數據．

x	2	3	4	5
y	1.5	2	3	3.5

（1）請根據上表提供的數據，用最小二乘法求出y關于x的回歸方程$\widehat{y}$=$\widehat$x+$\widehat{c}$；
（2）已知該廠技改前100噸甲產品的生產能耗為85噸標準煤．試根據（2）求出的回歸方程，預測生產100噸甲產品的生產能耗比技改前降低多少噸標準煤？
參考公式：$\left\{\begin{array}{l}\hat b=\frac{{\sum_{i=1}^n{（{x_i}-\overline x）（{y_i}-\overline y）}}}{{\sum_{i=1}^n{{{（{x_i}-\overline x）}^2}}}}=\frac{{\sum_{i=1}^n{{x_i}{y_i}-n\overline x\overline y}}}{{\sum_{i=1}^n{x_i^2-n{{\overline x}^2}}}}\\ \hat a=\overline y-\hat b\overline x\end{array}\right.$．

Answer 1

分析 解（1）根據題目中的公式，計算$\overline{x}$、$\overline{y}$，求出回歸直線的系數$\stackrel{∧}$、$\stackrel{∧}{a}$，寫出回歸方程；
（2）根據回歸直線方程，計算x=100時$\stackrel{∧}{y}$的值，得出降低多少噸標準煤．

解答 解（1）計算$\overline{x}$=$\frac{2+3+4+5}{4}$=3.5，$\overline{y}$=2.5，
$\sum_{i=1}^{4}$x_iy_i=2×1.5+3×2+4×3+5×3.5=38.5．
$\sum_{i=1}^{4}$${{x}_{i}}^{2}$=2²+3²+4²+5²=54，
所以回歸方程的系數為$\stackrel{∧}$=$\frac{{{\sum_{i=1}^{4}x}_{i}y}_{i}-4\overline{x}\overline{y}}{{{\sum_{i=1}^{4}x}_{i}}^{2}-{4\overline{x}}^{2}}$=$\frac{38.5-4×3.5×2.5}{54-4{×3.5}^{2}}$=0.7，…（5分）
$\stackrel{∧}{a}$=$\overline{y}$-$\stackrel{∧}$$\overline{x}$=2.5-0.7×3.5=0.05．
所以，所求的回歸方程為$\stackrel{∧}{y}$=0.7x+0.05．…（8分）
（2）現在生產100噸甲產品用煤
$\stackrel{∧}{y}$=0.7×100+0.05=70.05，
所以，降低85-70.05=14.95（噸標準煤）．…（12分）

點評 本題考查了球線性回歸方程的應用問題，也考查了計算能力的應用問題，是基礎題目．