Question

1．設(shè)F₁，F(xiàn)₂分別是橢圓E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦點，過F₁且斜率為1的直線l與E相交于A，B兩點，且|AF₂|，|AB|，|BF₂|成等差數(shù)列．
（1）求E的離心率；
（2）設(shè)A，B兩點都在以P（-2，0）為圓心的同一圓上，求E的方程．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)|AF₂|，|AB|，|BF₂|成等差數(shù)列，可得2|AB|=|AF₂|+|BF₂|，利用橢圓定義可得|AB|=$\frac{4}{3}$a．設(shè)l：x=y-c，代入橢圓C的方程，整理得（a²+b²）y²-2b²cy-b⁴=0（*），利用韋達定理化簡可得a=$\sqrt{2}$b，從而可證b=c；
（2）設(shè)AB的中點為N（x₀，y₀），運用中點坐標(biāo)公式，可得N的坐標(biāo)，根據(jù)|PA|=|PB|知PM為AB的中垂線，可得k_PN=-1，從而可求b=6，進而可求橢圓E的方程．

解答 解：（1）∵|AF₂|，|AB|，|BF₂|成等差數(shù)列，
∴2|AB|=|AF₂|+|BF₂|，
由橢圓定義可得，|AB|+|AF₂|+|BF₂|=4a，
∴|AB|=$\frac{4}{3}$a，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），F(xiàn)₁（-c，0），l：x=y-c，
代入橢圓C的方程，整理得（a²+b²）y²-2b²cy-b⁴=0，（*）
則|AB|²=（x₁-x₂）²+（y₁-y₂）²=2（y₁-y₂）²=2[（y₁+y₂）²-4y₁y₂]
=2[（$\frac{2^{2}c}{{a}^{2}+^{2}}$）²+$\frac{4^{4}}{{a}^{2}+^{2}}$]=$\frac{8^{4}}{（{a}^{2}+^{2}）^{2}}$•2a²，
化簡得a=$\sqrt{2}$b，故b=c．
所以橢圓的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
（2）設(shè)AB的中點為N（x₀，y₀），由（1）可得，
x₀=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=$\frac{^{2}c}{{a}^{2}+^{2}}$-c=$\frac{1}{3}$c-c=-$\frac{2}{3}$c，y₀=x₀+c=$\frac{1}{3}$c，
由|PA|=|PB|，可得k_PN=-1，即$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+2}$=-1，
化簡為$\frac{1}{3}$c=$\frac{2}{3}$c-2，解得c=6，a=6$\sqrt{2}$，b=6．
即有橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{72}$+$\frac{{y}^{2}}{36}$=1．

點評 本題重點考查橢圓的標(biāo)準方程，考查等差數(shù)列的性質(zhì)，考查兩點間的距離公式，解題的關(guān)鍵是利用|PA|=|PB|，得k_PN=-1．屬于中檔題．