Question

2．已知直線過點M（-3，0），且傾斜角為30°，橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0）的左焦點為F₁（-2，0），離心率$e=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$．
（Ⅰ）求直線l和橢圓C的方程；
（Ⅱ）求證：直線l和橢圓C有兩個交點；
（Ⅲ）設(shè)直線l和橢圓C的兩個交點為A，B，求證：以線段AB為直徑的圓經(jīng)過點F₁．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由直線l傾斜角為30°，直線l過點M（-3，0），能求出直線l的方程；由橢圓的焦點坐標(biāo)和離心率求出a，b，由此能求出橢圓C的方程．
（Ⅱ）直線與橢圓聯(lián)立，得2x²+6x+3=0．由此利用根的判別式能證明直線l和橢圓C有兩個交點．
（Ⅲ）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由韋達(dá)定理推導(dǎo)出F₁A⊥F₁B，由此能證明以線段AB為直徑的圓經(jīng)過點F₁．

解答 （本小題滿分14分）
解：（Ⅰ）由直線l傾斜角為30°，
知直線l的斜率為$\frac{\sqrt{3}}{3}$，又直線l過點M（-3，0），
得直線l的方程為y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x+3），即x-$\sqrt{3}y+3$=0．
∵橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0）的左焦點為F₁（-2，0），離心率$e=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，
∴由題意知，c=2，e=$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{6}}{3}$，得a=$\sqrt{6}$，
∴b²=6-4=2，
∴橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{6}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$．（5分）
證明：（Ⅱ）由方程組$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+3{y}^{2}=6}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{3}（x+3）}\end{array}\right.$，得2x²+6x+3=0．
△=6²-4×2×3=12＞0，
∴直線l和橢圓C有兩個交點．（10分）
（Ⅲ）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=-3，${x}_{1}{x}_{2}=\frac{3}{2}$．
∵${k}_{{F}_{1}A}•{k}_{{F}_{1}B}$=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}+2}•\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}+2}$=$\frac{\frac{1}{3}（{x}_{1}+3）（{x}_{2}+3）}{（{x}_{1}+2）（{x}_{2}+2）}$=$\frac{{x}_{1}{x}_{2}+3（{x}_{1}+{x}_{2}）+9}{3[{x}_{1}{x}_{2}+2（{x}_{1}+{x}_{2}）+4]}$=-1，
∴F₁A⊥F₁B，
∴以線段AB為直徑的圓經(jīng)過點F₁．（14分）

點評 本題考查橢圓方程的求法，考查直線與橢圓有兩個交點的證明，考查以線段AB為直徑的圓經(jīng)過點F₁的證明，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意根的判別式、韋達(dá)定理、直線方程等知識點的合理運用．