Question

7．“中國式過馬路”存在很大的交通安全隱患．某調查機構為了解路人對“中國式過馬路”的態(tài)度是否與性別有關，從馬路旁隨機抽取30名路人進行了問卷調查，得到了如下列聯(lián)表：

	男性	女性	合計
反感	10
不反感		8
合計			30

已知在這30人中隨機抽取1人抽到反感“中國式過馬路”的路人的概率是$\frac{7}{15}$．
（I）請將上面的列聯(lián)表補充完整（在答題卡上直接填寫結果，不需要寫求解過程），并據(jù)此資料分析反感“中國式過馬路”與性別是否有關？（參考公式：${K^2}=\frac{{n{{（ad-bc）}^2}}}{（a+b）（a+c）（c+d）（b+d）}$）
（Ⅱ）若從這30人中的女性路人中隨機抽取2人參加一活動，記反感“中國式過馬路”的人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學期望．

Answer 1

分析 （I）根據(jù)在全部30人中隨機抽取1人抽到中國式過馬路的概率，做出中國式過馬路的人數(shù)，進而做出男生的人數(shù)，填好表格．再根據(jù)所給的公式，代入數(shù)據(jù)求出臨界值，把求得的結果同臨界值表進行比較，看出有多大的把握說明反感“中國式過馬路”與性別是否有關．
（II）反感“中國式過馬路”的人數(shù)為X的可能取值為0，1，2，通過列舉得到事件數(shù)，分別計算出它們的概率，最后利用列出分布列，求出期望即可．

解答 解：（Ⅰ）

	男性	女性	合計
反感	10	4	14
不反感	8	8	16
合計	18	12	30

由已知數(shù)據(jù)得：${X^2}=\frac{{30{{（10×8-4×8）}^2}}}{16×14×18×12}≈1.429＜3.841$
所以，沒有充足的理由認為反感“中國式過馬路”與性別有關----------（6分）
（Ⅱ）X的可能取值為0，1，2．
$P（X=0）=\frac{C_8^2}{{C_{12}^2}}=\frac{14}{33}，P（X=1）=\frac{C_4^1C_8^1}{{C_{12}^2}}=\frac{16}{33}，P（X=2）=\frac{C_4^2}{{C_{12}^2}}=\frac{3}{33}$
所以X的分布列為：

X	0	1	2
P	$\frac{14}{33}$	$\frac{16}{33}$	$\frac{3}{33}$

X的數(shù)學期望為：$EX=0×\frac{14}{33}+1×\frac{16}{33}+2×\frac{3}{33}=\frac{22}{33}$=$\frac{2}{3}$----------（12分）

點評 本題是一個統(tǒng)計綜合題，包含獨立性檢驗、離散型隨機變量的期望與方差和概率，本題通過創(chuàng)設情境激發(fā)學生學習數(shù)學的情感，幫助培養(yǎng)其嚴謹治學的態(tài)度．