Question

5．已知函數(shù)f（x）=x-$\frac{1}{x+1}$，g（x）=x²-2ax+4，若任意x₁∈[0，1]，存在x₂∈[1，2]，使f（x₁）≥g（x₂），則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A． [$\frac{15}{8}$，+∞）
• B． [3，+∞）
• C． [$\frac{9}{4}$，+∞）
• D． （$\sqrt{5}$，+∞）

Answer 1

分析 先用導(dǎo)數(shù)研究出函數(shù)f（x）的單調(diào)性，得出其在區(qū)間[0，1]上的值域，f（x）的最小值是f（0）=-1．然后將題中“若?x₁∈[0，1]?x_∈[1，2]，使f（x₁）≥g（x₂）”轉(zhuǎn)化為f（x₁）的最小值大于或等于g（x₂）在區(qū)間[1，2]能夠成立，說明g（x₂）≤-1在區(qū)間[1，2]上有解，注意到自變量的正數(shù)特征，變形為x₂+$\frac{5}{{x}_{2}}$≤2a在區(qū)間[1，2]上至少有一個實(shí)數(shù)解，即x₂+$\frac{5}{{x}_{2}}$在區(qū)間[1，2]上的最小值小于或等于2a，問題迎刃解．

解答 解：函數(shù)f（x）=x-$\frac{1}{x+1}$的導(dǎo)數(shù)f′（x）=1+$\frac{1}{（x+1）^{2}}$＞0，函數(shù)f（x）在[0，1]上為增函數(shù)，
因此若?x₁∈[0，1]，則f（0）=-1≤f（x₁）≤f（1）=$\frac{1}{2}$，
原問題轉(zhuǎn)化為?x₂∈[1，2]，使f（0）=-1≥g（x₂），
即-1≥x₂²-2ax₂+4，在區(qū)間[1，2]上能夠成立
變形為x₂+$\frac{5}{{x}_{2}}$≤2a，在區(qū)間[1，2]上至少有一個實(shí)數(shù)解，
而x₂+$\frac{5}{{x}_{2}}$∈[$\frac{9}{2}$，6]，
所以2a≥$\frac{9}{2}$，
即a≥$\frac{9}{4}$
故選：C．

點(diǎn)評 本題以函數(shù)為載體，既考查了不等式恒成立的問題，又考查了不等式解集非空的問題．采用變量分離避免討論，解化運(yùn)算，是解決本題的捷徑．