15.已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+c (a,b,c∈R)在x=-1處有極值,在x=3處的切線方程為y=-16.
(1)求a,b,c的值;
(2)求函數(shù)f(x)在[-3,4]上的最大值與最小值.

分析 (1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),可得f′(-1)=0,f′(3)=0,f(3)=-16,解方程可得a,b,c;
(2)求出導(dǎo)數(shù),求出極值點,計算f(3),f(-3),f(-1),f(4)比較大小,即可得到最值.

解答 解:(1)函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+c的導(dǎo)數(shù)為f′(x)=3x2+2ax+b,
在x=-1處有極值,即有f′(-1)=0,即3-2a+b=0,
又在x=3處的切線方程為y=-16,即有f′(3)=27+6a+b=0,
f(3)=27+9a+3b+c=-16,
解方程可得,a=-3,b=-9,c=11;
(2)f(x)=x3-3x2-9x+11的導(dǎo)數(shù)為f′(x)=3x2-6x-9,
由f′(x)=0,解得x=3或-1,
由f(3)=27-27-27+11=-16,f(-1)=-1-3+9+11=16,
f(4)=64-48-36+11=-9,f(-3)=-27-27+27+11=-16.
可得f(x)的最大值為16,最小值為-16.

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運用:求切線的斜率和極值、最值,考查運算能力,屬于基礎(chǔ)題.

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