Question

19．（1）試說明函數(shù)g（x）=$\frac{x}{{x}^{2}+1}$的單調(diào)性（不要求證明）；
（2）設(shè)f（x）=tx-（1+t²）x²，其中t＞0，區(qū)間I={x|f（x）＞0}，求區(qū)間I長(zhǎng)度l（t）（注：區(qū)間（α，β）的長(zhǎng)度定義為β-α）

Answer 1

分析 （1）求g′（x）=$\frac{1-{x}^{2}}{（{x}^{2}+1）^{2}}$，判斷導(dǎo)數(shù)g′（x）的符號(hào)，從而得到g（x）的單調(diào)性；
（2）先解一元二次不等式f（x）＞0得到，0＜x$＜\frac{t}{1{+t}^{2}}$，從而得到I=（0，$\frac{t}{1+{t}^{2}}$），根據(jù)區(qū)間長(zhǎng)度的定義即可求出區(qū)間I的長(zhǎng)度．

解答 解：（1）g′（x）=$\frac{1-{x}^{2}}{{（x}^{2}+1）^{2}}$；
∴x＜-1，或x＞1時(shí)，g′（x）＜0；-1＜x＜1時(shí)，g′（x）＞0；
∴g（x）在（-∞，-1），（1，+∞）上單調(diào)遞減，在[-1，1]上單調(diào)遞增；
（2）令f（x）=0解得x=0，或$\frac{t}{1+{t}^{2}}$；
∵t＞0，∴$\frac{t}{1{+t}^{2}}＞0$；
∴f（x）＞0的解為（0，$\frac{t}{1+{t}^{2}}$）；
即I=（0，$\frac{t}{1+{t}^{2}}$）；
∴區(qū)間I的長(zhǎng)度為$\frac{t}{1+{t}^{2}}$．

點(diǎn)評(píng) 考查根據(jù)導(dǎo)數(shù)符號(hào)判斷函數(shù)單調(diào)性的方法，解一元二次不等式，以及描述法表示集合，區(qū)間長(zhǎng)度的定義．