Question

2．已知曲線y=x+lnx在點(diǎn)（1，1）處的切線與曲線y=ax²+（a+2）x+l相切．求不等式x²-（a+l）x+a≤0的解集．

Answer 1

分析 求出y=x+lnx的導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率，可得切線方程，再由于切線與曲線y=ax²+（a+2）x+1相切，有且只有一切點(diǎn)，進(jìn)而可聯(lián)立切線與曲線方程，根據(jù)△=0得到a的值，即可求不等式x²-（a+l）x+a≤0的解集．

解答 解：y=x+lnx的導(dǎo)數(shù)為y′=1+$\frac{1}{x}$，
曲線y=x+lnx在x=1處的切線斜率為k=2，
則曲線y=x+lnx在x=1處的切線方程為y-1=2x-2，即y=2x-1．
由于切線與曲線y=ax²+（a+2）x+1相切，
y=ax²+（a+2）x+1可聯(lián)立y=2x-1，
得ax²+ax+2=0，
又a≠0，兩線相切有一切點(diǎn)，
所以有△=a²-8a=0，
解得a=8．
所以x²-9x+8≤0的解集為[1，8]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線方程，主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義：函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)即為曲線在該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，設(shè)出切線方程運(yùn)用兩線相切的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．