Question

15．設(shè)a＞1，橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+y²=1與雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}-1}$-y²=1的四個交點構(gòu)成一個正方形，它們的離心率分別為e₁，e₂，求${{e}_{1}}^{2}$+${{e}_{2}}^{2}$．

Answer 1

分析 設(shè)正方形的一個頂點為（m，m），代入橢圓、雙曲線方程，通過代入消元可解得a²=$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$，再由橢圓和雙曲線的離心率公式，即可求出它們的平方和．

解答 解：由對稱性知，設(shè)正方形的一個頂點為（m，m），（m＞0），
則代入橢圓和雙曲線方程，即有
$\frac{{m}^{2}}{{a}^{2}}$+m²=1，$\frac{{m}^{2}}{{a}^{2}-1}$-m²=1．
解得a²=$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$，
即有e₁=$\frac{\sqrt{{a}^{2}-1}}{a}$，e₂=$\frac{a}{\sqrt{{a}^{2}-1}}$，
則${{e}_{1}}^{2}$+${{e}_{2}}^{2}$=$\frac{{a}^{2}-1}{{a}^{2}}$+$\frac{{a}^{2}}{{a}^{2}-1}$=1-$\frac{2}{1+\sqrt{3}}$+$\frac{1}{1-\frac{2}{1+\sqrt{3}}}$
=1-（$\sqrt{3}$-1）+2+$\sqrt{3}$=4．

點評 本題考查橢圓、雙曲線的方程與性質(zhì)，主要考查離心率的求法，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．