Question

已知函數(shù)

（1）求函數(shù)在上的最大值與最小值；

（2）若時(shí)，函數(shù)的圖像恒在直線上方，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）證明：當(dāng)時(shí)，

 

Answer 1

（1）;（2）;(3)證明見解析．

【解析】

試題分析：（1）由知當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，可得函數(shù)的最值．(2)當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象恒直線的上方，等價(jià)于時(shí)，不等式恒成立，即恒成立．令,由可得的取值，從而得的取值；（3）由（2）知當(dāng)時(shí)，，，則，即，令取1，2…可得不等式，累加可得．

【解析】
（1）定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111719582577472441/SYS201411171958332750973248_DA/SYS201411171958332750973248_DA.027.png">，且，

當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)時(shí)，,

在為為減函數(shù)；在上為增函數(shù)，

．

(2)當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象恒直線的上方，等價(jià)于時(shí)，不等式恒成立，即恒成立，令，則當(dāng)時(shí)，，故在 上遞增，所以時(shí)，，故滿足條件的實(shí)數(shù)取值范圍是．

（3）證明：由（2）知當(dāng)時(shí)，

令，則，化簡得

即

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性．