【題目】已知函數(shù).

(1)設函數(shù),討論函數(shù)的單調(diào)性；

(2)當 時，求證：.

【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析.

【解析】

（1）求出函數(shù)的解析式，進而得到其導數(shù)，然后根據(jù)的取值進行分類討論可得函數(shù)的單調(diào)性；（2）由題意即證不等式成立，設 ，結(jié)合導數(shù)可得 ，然后再證明即可得到結(jié)論成立．

（1）由題意得，

所以，

令，得或．

①當時，

則當時，，函數(shù)單調(diào)遞減；當時，，函數(shù)單調(diào)遞增．

②當時，

則當或時，，函數(shù)單調(diào)遞增；當時，，函數(shù)單調(diào)遞減．

③當時，恒成立，函數(shù)在上單調(diào)遞增．

④當時，

則當或時，，函數(shù)單調(diào)遞增；當時，，函數(shù)單調(diào)遞減．

綜上可得，當時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；

當時，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；

當時，在上單調(diào)遞增；

當時，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．

（2）由題意得即證不等式成立．

設，

則，

又，

∴當時，單調(diào)遞減；當時，單調(diào)遞增．

∴．

又，

∴在上單調(diào)遞減，

∴，

∴，即．

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖所示的正四棱柱的底面邊長為，側(cè)棱,點在棱上，

且 ().

（1）當時，求三棱錐的體積；

（2）當異面直線與所成角的大小為時，求的值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，在三棱柱中， 側(cè)面底面.

(1)求證： 平面；

(2)若,求二面角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某藝術(shù)品公司欲生產(chǎn)一款迎新春工藝禮品，該禮品是由玻璃球面和該球的內(nèi)接圓錐組成，圓錐的側(cè)面用于藝術(shù)裝飾，如圖1.為了便于設計，可將該禮品看成是由圓及其內(nèi)接等腰三角形繞底邊上的高所在直線旋轉(zhuǎn)180°而成，如圖2.已知圓的半徑為，設，圓錐的側(cè)面積為.

（1）求關于的函數(shù)關系式；

（2）為了達到最佳觀賞效果，要求圓錐的側(cè)面積最大.求取得最大值時腰的長度.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，已知點C是圓心為O半徑為1的半圓弧上從點A數(shù)起的第一個三等分點，是直徑，，直線平面.

（1）證明：；

（2）若M為的中點，求證：平面；

（3）求三棱錐的體積.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在四棱錐P–ABCD中，底面ABCD是邊長為6的正方形，PD平面ABCD，PD=8．

(1) 求PB與平面ABCD所成角的大��；

(2) 求異面直線PB與DC所成角的大小．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在①;②這兩個條件中任選-一個，補充在下面問題中，然后解答補充完整的題.

在中，角的對邊分別為，已知 ，.

(1)求;

(2)如圖，為邊上一點，，求的面積

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓C：的離心率為，長半軸長為短軸長的b倍，A，B分別為橢圓C的上、下頂點，點．

求橢圓C的方程；

若直線MA，MB與橢圓C的另一交點分別為P，Q，證明：直線PQ過定點．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標系中，橢圓： 的左、右焦點分別為，兩焦點與短軸的一個頂點構(gòu)成等腰直角三角形，且點在橢圓上.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）如圖所示，過橢圓的左焦點作直線（斜率存在且不為0）交橢圓于兩點，過右焦點作直線交橢圓于兩點，且，直線交軸于點，動點（異于）在橢圓上運動.

①證明： 為常數(shù)；

②當時，利用上述結(jié)論求面積的取值范圍.

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