Question

20．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的兩個焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，設P為橢圓上一點，∠F₁PF₂的外角平分線所在的直線為l，過F₁，F(xiàn)₂分別作l的垂線，垂足分別為R，S，當P在橢圓上運動時，R，S所形成的圖形的面積為πa²．

Answer 1

分析 延長F₂S交F₁P的延長線于Q，可證得PQ=PF₂，且S是PF₂的中點，由此可求得OS的長度是定值，即可求點S的軌跡的幾何特征．

解答 解：由題意，P是以F₁，F(xiàn)₂為焦點的橢圓上一點，過焦點F₂作∠F₁PF₂外角平分線的垂線，垂足為S，
延長F₂S交F₁P的延長線于Q，得PQ=PF₂，
由橢圓的定義知PF₁+PF₂=2a，故有PF₁+PQ=QF₁=2a，
連接OS，知OS是三角形F₁F₂Q的中位線，
∴OS=a，即點S到原點的距離是定值a，由此知點S的軌跡是
以原點為圓心、半徑等于a的圓．
同理可得，點R的軌跡是以原點為圓心、半徑等于a的圓．
故點R，S所形成的圖形的面積為πa²．

點評 本題考查求軌跡方程，關鍵是證出OS是中位線以及利用題設中所給的圖形的幾何特征求出QF₁的長度，進而求出OS的長度，再利用圓的定義得出點M的軌跡是一個圓，屬于難題．