Question

12．若AB是圓x²+（y-3）²=1的任意一條直徑，O為坐標原點，則$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=8．

Answer 1

分析 可作出圖形，設(shè)圓心為C，從而$|\overrightarrow{OC}|=3$，而由圓的標準方程可得$|\overrightarrow{CA}|=1$，而根據(jù)向量的加法和數(shù)乘的幾何意義可得到$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{CA}$，$\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{CA}$，從而進行數(shù)量積的運算便可得出$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$的值．

解答 解：如圖，

設(shè)圓心為C（0，3），則$|\overrightarrow{OC}|=3$；
由圓的標準方程知，圓的半徑為1，∴$|\overrightarrow{CA}|=1$；
∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=（\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{CA}）•（\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{CB}）$
=$（\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{CA}）•（\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{CA}）$
=${\overrightarrow{OC}}^{2}-{\overrightarrow{CA}}^{2}$
=9-1
=8．
故答案為：8．

點評 考查圓的標準方程，以及向量加法和數(shù)乘的幾何意義，向量數(shù)量積的運算，平方差公式在數(shù)量積運算中的應(yīng)用．