Question

已知f（x）=ae^2x+（a+1）x+1，a＜-1對(duì)任意x₁，x₂∈R，有f（x₁）-f（x₂）≥4（e x1-e x2），求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：對(duì)?x₁，x₂∈R，有|f（x₁）-f（x₂）|≥4|e^x₁-e^x₂|，兩邊同除以|x₁-x₂|，等價(jià)于|f′（x）|≥4e^x，由此可求a的取值范圍．

解答： 解：∵對(duì)?x₁，x₂∈R，有|f（x₁）-f（x₂）|≥4|e^x₁-e^x₂|，
∴兩邊同除以|x₁-x₂|，可得|f′（x）|≥4e^x，
∴|2ae^2x+（a+1）|≥4e^x，
∵a＜-1
∴2ae^2x+4e^x+（a+1）≤0
令e^x=t（t＞0），則2at²+4t+（a+1）≤0
∵a＜-1，∴0＜-

1

a

＜1，a+1＜0
∴△=16-8a（a+1）≤0
∴（a+2）（a-1）≥0
∴a≥1或a≤-2．
∵a＜-1，
∴a≤-2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查導(dǎo)數(shù)概念，考查恒成立問題，屬于中檔題．