Question

14．定義：若點(diǎn)M（x₀，y₀）在橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）上，則點(diǎn)N（$\frac{{x}_{0}}{a}$，$\frac{{y}_{0}}$）為點(diǎn)M的一個(gè)“依附點(diǎn)”．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的長半軸長和焦距均為2，若橢圓C的弦AB的端點(diǎn)A，B的“依附點(diǎn)”分別是P，Q，且OP⊥OQ．
（I）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）求證：S_△OAB為定值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）直接由已知求得a，c的值，結(jié)合隱含條件求得b，則橢圓方程可求；
（Ⅱ）分斜率存在和不存在討論，當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)出直線方程y=kx+m，再設(shè)出A，B，P，Q的坐標(biāo)，聯(lián)立直線方程和橢圓方程后，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系及OP⊥OQ得到k與m的關(guān)系，再由點(diǎn)到直線的距離公式求出原點(diǎn)到直線的距離，代入三角形面積公式求得S_△OAB的值；當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)直接求解得答案．

解答 （Ⅰ）解：由題意知，a=2，c=1，∴b²=a²-c²=3，
∴橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（Ⅱ）證明：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則P（$\frac{{x}_{1}}{2}，\frac{{y}_{1}}{\sqrt{3}}$），Q（$\frac{{x}_{2}}{2}，\frac{{y}_{2}}{\sqrt{3}}$），
①當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)方程為y=kx+m，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\\{y=kx+m}\end{array}\right.$，得：（3+4k²）x²+8kmx+4（m²-3）=0．
則有△=（8km）²-4（3+4k²）×4（m²-3）=48（3+4k²-m²）＞0，
${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{-8km}{3+4{k}^{2}}，{x}_{1}{x}_{2}=\frac{4（{m}^{2}-3）}{3+4{k}^{2}}$，①
由OP⊥OQ，可得：$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OQ}=（\frac{{x}_{1}}{2}，\frac{{y}_{1}}{\sqrt{3}}）•（\frac{{x}_{2}}{2}，\frac{{y}_{2}}{\sqrt{3}}）$=$\frac{{x}_{1}{x}_{2}}{4}+\frac{{y}_{1}{y}_{2}}{3}$=0，即3x₁x₂+4y₁y₂=0•
把y₁=kx₁+m，y₂=kx₂+m代入整理得：
（3+4k²）x₁x₂+4km（x₁+x₂）+4m²=0，②
將①式代入②式得：3+4k²=2m²，
∵3+4k²＞0，∴m²＞0，
則△=48m²＞0．
又點(diǎn)O到直線y=kx+m的距離d=$\frac{|m|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$．
∴|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}|{x}_{1}-{x}_{2}|$=$\sqrt{1+{k}^{2}}$$•\frac{4\sqrt{3}\sqrt{3+4{k}^{2}-{m}^{2}}}{3+4{k}^{2}}$=$\sqrt{1+{k}^{2}}•\frac{4\sqrt{3}|m|}{3+4{k}^{2}}$=$\sqrt{1+{k}^{2}}•\frac{4\sqrt{3}|m|}{2{m}^{2}}$，
∴${S}_{△OAB}=\frac{1}{2}$|AB|d=$\frac{2\sqrt{3}{m}^{2}}{2{m}^{2}}=\sqrt{3}$；
②當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，設(shè)方程為x=m（-2＜m＜2）
聯(lián)立橢圓方程得：${y}^{2}=\frac{3（4-{m}^{2}）}{4}$，代入3x₁x₂+4y₁y₂=0，得到$3{m}^{2}-\frac{3（4-{m}^{2}）}{4}=0$，
即m=±$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，y=±$\frac{2\sqrt{15}}{5}$．
${S}_{△OAB}=\frac{1}{2}$|AB|d=$\frac{1}{2}$|m||y₁-y₂|=$\sqrt{3}$．
綜上：△OAB的面積是定值$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓方程的求法，考查了橢圓的簡單性質(zhì)，訓(xùn)練了弦長公式及點(diǎn)到直線距離公式的應(yīng)用，考查了計(jì)算能力，是壓軸題．