Question

8．某培訓(xùn)機(jī)構(gòu)對(duì)沈陽(yáng)市兩所高中的學(xué)生是否愿意參加自主招生培訓(xùn)的情況進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查和考試測(cè)驗(yàn)，從兩所學(xué)校共隨機(jī)抽取100位同學(xué)進(jìn)行調(diào)查，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如表：

自招 學(xué)校	愿意	不愿意
A學(xué)校	46	10
B學(xué)校	24	20

（1）判斷能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.01的前提下認(rèn)為是否愿意參加自主招生培訓(xùn)與學(xué)校有關(guān)？
（2）考試測(cè)驗(yàn)中分客觀題和主觀題，客觀題共有8道，每道分值5分，學(xué)生李華答對(duì)每道客觀題的概率均為0.8．主觀題共有8道，每道分值12分，須隨機(jī)抽取5道主觀題作答，其中李華完全會(huì)答的有4道，不完全會(huì)的有4道，不完全會(huì)的每道主觀題得分S的概率滿足：P（S=3k）=$\frac{k}{6}$，k=1，2，3，假設(shè)解答各題之間沒(méi)有影響．
①對(duì)于一道不完全會(huì)的主觀題，李華得分的數(shù)學(xué)期望是多少？
②求李華在本次測(cè)驗(yàn)中得分ξ的數(shù)學(xué)期望．
臨界值參考表：

P（K2≥k）	0.100	0.050	0.010	0.001
k	2.706	3.841	6.635	10.828

參考公式：k=$\frac{{n{{（ad-bc）}^2}}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$．

Answer 1

分析 （1）由表中數(shù)據(jù)可得K²的觀測(cè)值，與臨界值比較，即可得出結(jié)論；
（2）①直接利用公式，可得李華得分的數(shù)學(xué)期望；
②直接利用公式求出E（X），E（Y），即可求出李華在本次測(cè)驗(yàn)中得分ξ的數(shù)學(xué)期望．

解答 解：（1）由表中數(shù)據(jù)可得K²的觀測(cè)值：$k=\frac{{100×{{（46×20-24×10）}^2}}}{70×30×44×56}≈8.936$
因?yàn)?.936＞6.635，所以能在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.01的前提下認(rèn)為愿意參加自主招生培訓(xùn)與學(xué)校有關(guān)…（4分）
（2）①由題意$E（S）=3×\frac{1}{6}+6×\frac{2}{6}+9×\frac{3}{6}=7$（分）…（6分）
②設(shè)李華答對(duì)客觀題的個(gè)數(shù)為隨機(jī)變量X，李華抽取的5道主觀題中完全會(huì)答的個(gè)數(shù)為隨即變量Y，
完全會(huì)答的為5-Y，則依據(jù)題意有：X～B（8，0.8），Y服從參數(shù)為8，4，5的超幾何分布，
于是  E（X）=8×0.8=6.4，$E（Y）=\frac{4×5}{8}=2.5$…（9分）
因?yàn)棣?5X+12Y+7（5-Y）=5X+5Y+35，…（10分）
所以Eξ=E（5X+5Y+35）=5E（X）+5E（Y）+35=79.5（分）…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查獨(dú)立性檢驗(yàn)知識(shí)，考查了離散型隨機(jī)變量的期望與方差，以及離散型隨機(jī)變量及其分布列，同時(shí)考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題．