Question

6．寫(xiě)出下列函數(shù)的值域：
（1）y=x+$\frac{1}{x-1}$（x＞1）；
（2）y=2x+$\frac{1}{x-1}$（x＞1）．

Answer 1

分析 （1）利用基本不等式化簡(jiǎn)y=x+$\frac{1}{x-1}$=x-1+$\frac{1}{x-1}$+1，利用基本不等式求函數(shù)的值域；
（2）利用基本不等式化簡(jiǎn)y=2x+$\frac{1}{x-1}$=2（x-1）+$\frac{1}{x-1}$+2，利用基本不等式求函數(shù)的值域．

解答 解：（1）y=x+$\frac{1}{x-1}$=x-1+$\frac{1}{x-1}$+1≥2+1=3，
（當(dāng)且僅當(dāng)x-1=$\frac{1}{x-1}$，即x=2時(shí)，等號(hào)成立），
故函數(shù)的值域?yàn)閇3，+∞）；
（2）y=2x+$\frac{1}{x-1}$=2（x-1）+$\frac{1}{x-1}$+2≥2$\sqrt{2}$+2，
（當(dāng)且僅當(dāng)2（x-1）=$\frac{1}{x-1}$，即x=1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$時(shí)，等號(hào)成立），
故函數(shù)的值域?yàn)閇2$\sqrt{2}$+2，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的值域的求法及基本不等式的應(yīng)用．