Question

16．（1）比較a²+b²與2（2a-b）-5的大�。�
（2）已知a、b∈R⁺，求證：${a^a}{b^b}≥{（ab）^{\frac{a+b}{2}}}$當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)等號成立．

Answer 1

分析 （1）利用“作差法”和配方法即可得出；（2）利用相除法，再根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即可比較．

解答 解：（1）∵a²+b²-[2（2a-b）-5]=（a-2）²+（b+1）²≥0，
∴a²+b²≥2（2a-b）-5，當(dāng)且僅當(dāng)a=2，b=-1時(shí)，取等號；
（2）解：設(shè)y=a^ab^b÷${（ab）}^{\frac{a+b}{2}}$=${（\frac{a}）}^{\frac{a-b}{2}}$，
當(dāng)a＞b時(shí)，$\frac{a}$＞1，$\frac{a-b}{2}$＞0，據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知y＞1，即a^ab^b≥${（ab）}^{\frac{a+b}{2}}$．
當(dāng)a＜b時(shí)，0＜$\frac{a}$＜1，$\frac{a-b}{2}$＜0，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知y＞1，即a^ab^b≥${（ab）}^{\frac{a+b}{2}}$．
綜上所述：${a^a}{b^b}≥{（ab）^{\frac{a+b}{2}}}$當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)等號成立．

點(diǎn)評 本題主要考查了等式的大小比較，需要分類討論，屬于基礎(chǔ)題．