Question

9．已知x，y，z∈R⁺，求證：$\frac{x}{2x+y+z}$+$\frac{y}{x+2y+z}$+$\frac{z}{x+y+2z}$≤$\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 設(shè)2x+y+z=a，x+2y+z=b，x+y+2z=c，解得x，y，z，代入原不等式左邊，化解整理，再由基本不等式即可得證．

解答 證明：設(shè)2x+y+z=a，x+2y+z=b，x+y+2z=c，
可得x=$\frac{3a-b-c}{4}$，y=$\frac{3b-a-c}{4}$，z=$\frac{3c-a-b}{4}$，
即有$\frac{x}{2x+y+z}$+$\frac{y}{x+2y+z}$+$\frac{z}{x+y+2z}$=$\frac{3a-b-c}{4a}$+$\frac{3b-a-c}{4b}$+$\frac{3c-a-b}{4c}$
=$\frac{9}{4}$-$\frac{1}{4}$[（$\frac{a}$+$\frac{a}$）+（$\frac{c}{a}$+$\frac{a}{c}$）+（$\frac{c}$+$\frac{c}$）]≤$\frac{9}{4}$-$\frac{1}{4}$（2+2+2）=$\frac{3}{4}$．
當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c取得等號(hào)．
則$\frac{x}{2x+y+z}$+$\frac{y}{x+2y+z}$+$\frac{z}{x+y+2z}$≤$\frac{3}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查不等式的證明，注意運(yùn)用換元法，以及基本不等式，注意滿足的條件：一正二定三等，考查推理能力，屬于中檔題．