Question

1．在直角坐標系xOy中，以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，設直線l：ρcosθ+$\sqrt{3}$ρsinθ=2$\sqrt{2}$與圓C：ρ=2交于A、B兩點．
（Ⅰ）求A、B兩點的極坐標；
（Ⅱ）設P是圓C上的動點，求△PAB面積的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{ρcosθ+\sqrt{3}sinθ=2\sqrt{2}}\\{ρ=2}\end{array}\right.$，能求出A、B兩點的極坐標．
（Ⅱ）求出圓C和直線l的直角坐標方程，再求出圓心C（0，0）到直線l的距離，從而求出|AB和P到AB的最大距離，由此能求出△PAB面積的最大值．

解答 解：（Ⅰ）∵直線l：ρcosθ+$\sqrt{3}$ρsinθ=2$\sqrt{2}$與圓C：ρ=2交于A、B兩點，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{ρcosθ+\sqrt{3}sinθ=2\sqrt{2}}\\{ρ=2}\end{array}\right.$，得$\frac{1}{2}cosθ+\frac{\sqrt{3}}{2}sinθ=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴sin（$\frac{π}{6}$+θ）=$sin\frac{π}{4}$，∴$θ=\frac{π}{12}$或θ=$\frac{7π}{12}$，
∴A（2，$\frac{π}{12}$），B（2，$\frac{7π}{12}$）．
（Ⅱ）∵圓C：ρ=2，∴圓C的直角坐標方程：x²+y²=4，
∵直線l：ρcosθ+$\sqrt{3}$ρsinθ=2$\sqrt{2}$，∴直線l的直角坐標方程為$x+\sqrt{3}y-2\sqrt{2}=0$，
圓心C（0，0）到直線l的距離d=$\frac{|-2\sqrt{2}|}{\sqrt{1+3}}$=$\sqrt{2}$，
|AB|=$\sqrt{4-2}$=$\sqrt{2}$，
∵P是圓C上的動點，∴P到AB的最大距離h=d+r=$\sqrt{2}+2$，
∴△PAB面積的最大值（S_△PAB）_max=$\frac{1}{2}|AB|h$=$\frac{1}{2}|\sqrt{2}+2|×\sqrt{2}$=1+$\sqrt{2}$．

點評 本題考查兩點極坐標的求法，考查三角形面積的最大值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意點到直線的距離公式的合理運用．