Question

4．已知拋物線y=-x²+ax+$\frac{1}{2}$與直線y=2x．
（1）求證：拋物線與直線相交；
（2）設直線與拋物線的交點分別為A，B，當a∈（1，4）時，求線段AB長度的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）令f（x）=-x²+ax+$\frac{1}{2}$-2x，只需證明f（x）有解即可；
（2）設出交點坐標，利用根與系數(shù)得關系表示出x₁+y₁和x₁•x₂，帶入弦長公式得到關于a得函數(shù)．求此函數(shù)的最值．

解答 解：（1）令f（x）=-x²+ax+$\frac{1}{2}$-2x=-x²+（a-2）x+$\frac{1}{2}$，
則△=（a-2）²+2≥2．∴f（x）有兩個不相等的實數(shù)根．
∴拋物線y=-x²+ax+$\frac{1}{2}$與直線y=2x相交．
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+y₁=a-2，x₁•x₂=-$\frac{1}{2}$．
∴|AB|=$\sqrt{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}+（{y}_{1}-{y}_{2}）^{2}}$=$\sqrt{5}$$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{5}$$\sqrt{{（a-2）}^{2}+2}$．
∵a∈（1，4），∴2≤（a-2）²+2＜6．
∴$\sqrt{10}$≤|AB|＜$\sqrt{30}$．

點評 本題考查了二次函數(shù)零點的存在性判斷，弦長公式應用，設而不求是常用方法之一．