Question

15．已知函數(shù)$f（x）=\frac{1}{2}{x^2}，g（x）=elnx$．
（Ⅰ）設函數(shù)F（x）=f（x）-g（x），求F（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若存在常數(shù)k，m，使得f（x）≥kx+m對x∈R恒成立，且g（x）≤kx+m對x∈（0，+∞）恒成立，則稱直線y=kx+m為函數(shù)f（x）與g（x）的“分界線”．
（�。┳C明f（x）≥g（x）；
（ⅱ）試問：f（x）與g（x）是否存在“分界線”？若存在，求出“分界線”的方程，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）在定義域內(nèi)解不等式F′（x）＞0，F(xiàn)′（x）＜0可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）（i）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，得到$F（x）≥F（\sqrt{e}）$，從而證出結(jié)論；
（ii）由（I）可知，當x=$\sqrt{e}$時，F(xiàn)（x）取得最小值F（$\sqrt{e}$）=0，則f（x）與g（x）的圖象在x=$\sqrt{e}$處有公共點（$\sqrt{e}$，$\frac{e}{2}$）．假設f（x）與g（x）存在“分界線”，則其必過點（$\sqrt{e}$，$\frac{e}{2}$）．故設其方程為：y-$\frac{e}{2}$=k（x-$\sqrt{e}$），由f（x）≥kx+$\frac{e}{2}$-k$\sqrt{e}$對x∈R恒成立，可求得k=$\sqrt{e}$，則“分界線“的方程為：y=$\sqrt{e}$x-$\frac{e}{2}$．只需在證明g（x）≤$\sqrt{e}$x-$\frac{e}{2}$對x∈（0，+∞）恒成立即可．

解答 解：（I）由于函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}$x²，g（x）=elnx，
因此，F(xiàn)（x）=f（x）-g（x）=$\frac{1}{2}$x²-elnx，
則F′（x）=x-$\frac{e}{x}$=$\frac{{x}^{2}-e}{x}$=$\frac{（x-\sqrt{e}）（x+\sqrt{e}）}{x}$，x∈（0，+∞），
當0＜x＜$\sqrt{e}$時，F(xiàn)′（x）＜0，∴F（x）在（0，$\sqrt{e}$）上是減函數(shù)；
當x＞$\sqrt{e}$時，F(xiàn)′（x）＞0，∴F（x）在（$\sqrt{e}$，+∞）上是增函數(shù)；
因此，函數(shù)F（x）的單調(diào)減區(qū)間是（0，$\sqrt{e}$），單調(diào)增區(qū)間是（$\sqrt{e}$，+∞）．
（Ⅱ）（�。┳C明：由（Ⅰ）得函數(shù)F（x）的單調(diào)減區(qū)間是（0，$\sqrt{e}$），單調(diào)增區(qū)間
是（$\sqrt{e}$，+∞）∴$F（x）≥F（\sqrt{e}）$，而$F（\sqrt{e}）=\frac{1}{2}{（{\sqrt{e}}）^2}-eln\sqrt{e}=0$，
即F（x）≥0∴f（x）≥g（x）成立；
（II）（ii）由（I）可知，當x=$\sqrt{e}$時，F(xiàn)（x）取得最小值F（$\sqrt{e}$）=0，
則f（x）與g（x）的圖象在x=$\sqrt{e}$處有公共點（$\sqrt{e}$，$\frac{e}{2}$），
假設f（x）與g（x）存在“分界線”，則其必過點（$\sqrt{e}$，$\frac{e}{2}$），
故設其方程為：y-$\frac{e}{2}$=k（x-$\sqrt{e}$），即y=kx+$\frac{e}{2}$-k$\sqrt{e}$，
由f（x）≥kx+$\frac{e}{2}$-k$\sqrt{e}$對x∈R恒成立，則x2-2kx-e+2k$\sqrt{e}$≥0對x∈R恒成立，
∴△=4k2-4（2k$\sqrt{e}$-e）=4k²-8k$\sqrt{e}$+4e=e（k-$\sqrt{e}$）²≤0成立，
因此k=$\sqrt{e}$，“分界線“的方程為：y=$\sqrt{e}$x-$\frac{e}{2}$，
下面證明g（x）≤$\sqrt{e}$x-$\frac{e}{2}$對x∈（0，+∞）恒成立，
設G（x）=elnx-x$\sqrt{e}$+$\frac{e}{2}$，則G′（x）=$\frac{e}{x}$-$\sqrt{e}$=$\frac{\sqrt{e}（\sqrt{e}-x）}{x}$，
∴當0＜x＜$\sqrt{e}$時，G′（x）＞0，當x＞$\sqrt{e}$時，G′（x）＜0，
當x=$\sqrt{e}$時，G（x）取得最大值0，則g（x）≤$\sqrt{e}$x-$\frac{e}{2}$對x∈（0，+∞）恒成立，
故所求“分界線“的方程為：y=$\sqrt{e}$x-$\frac{e}{2}$．

點評 本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、最值及恒成立問題，考查轉(zhuǎn)化思想，探究性題目往往先假設成立，再做一般性證明．