Question

7．已知函數(shù)f（x）=e^xsinx，F(xiàn)（x）=mx．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）當(dāng)x∈[0，$\frac{π}{2}$]時(shí)，f（x）≥F（x），求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）f′（x）=e^xsinx+e^xcosx=$\sqrt{2}$e^xsin（x+$\frac{π}{4}$），分別解出f′（x）＞0，f′（x）＜0，即可得出單調(diào)區(qū)間；
（2）令g（x）=f（x）-mx=e^xsinx-mx，即g（x）≥0恒成立，而g′（x）=e^x（sinx+cosx）-m，令h（x）=e^x（sinx+cosx），利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)h（x）的單調(diào)性可得：在[0，$\frac{π}{2}$]上單調(diào)遞增，1≤h（x）≤${e}^{\frac{π}{2}}$，對m分類討論，即可得出函數(shù)g（x）的單調(diào)性，進(jìn)而得出m的取值范圍．

解答 解：（1）f′（x）=e^xsinx+e^xcosx=$\sqrt{2}$e^xsin（x+$\frac{π}{4}$），
當(dāng)x∈（2kπ-$\frac{π}{4}$，2kπ+$\frac{3π}{4}$）時(shí)，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，
x∈（2kπ+$\frac{3π}{4}$，2kπ+$\frac{7π}{4}$），f′（x）＜0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減．
（2）令g（x）=f（x）-mx=e^xsinx-mx，即g（x）≥0恒成立，
而g′（x）=e^x（sinx+cosx）-m，
令h（x）=e^x（sinx+cosx），h′（x）=e^x（sinx+cosx）+e^x（cosx-sinx）=2e^xcosx．
∵x∈[0，$\frac{π}{2}$]，h′（x）≥0，∴h（x）在[0，$\frac{π}{2}$]上單調(diào)遞增，1≤h（x）≤${e}^{\frac{π}{2}}$，
當(dāng)m≤1時(shí)，g′（x）≥0，g（x）在[0，$\frac{π}{2}$]上單調(diào)遞增，g（x）≥g（0）=0，符合題意；
當(dāng)m≥${e}^{\frac{π}{2}}$時(shí)，g′（x）≤0，g（x）在[0，$\frac{π}{2}$]上單調(diào)遞減，g（x）≤g（0），與題意不合；
當(dāng)1＜m＜${e}^{\frac{π}{2}}$時(shí)，g′（x）為一個(gè)單調(diào)遞增的函數(shù)，而g′（0）=1-k＜0，g′（$\frac{π}{2}$）=${e}^{\frac{π}{2}}$-k＞0，
由零點(diǎn)存在性定理，必存在一個(gè)零點(diǎn)x₀，使得g′（x₀）=0，
當(dāng)x∈[0，x₀）時(shí)，g′（x）≤0，從而g（x）在此區(qū)間上單調(diào)遞減，從而g（x）≤g（0）=0，與題意不合，
綜上所述：m的取值范圍為（-∞，1]．

點(diǎn)評 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．