Question

10．已知函數(shù)g（x）=ax³+x²+x（a為實(shí)數(shù)）
（1）試討論函數(shù)g（x）的單調(diào)性；
（2）若對?x∈（0，+∞）恒有$g（x）≤lnx+\frac{1}{x}$，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（2）令$f（x）=lnx+\frac{1}{x}$，求出函數(shù)f（x）的最小值，通過討論a的范圍，得到g（x）的單調(diào)性，求出g（x）的最大值小于f（x）的最小值，從而求出a的范圍即可．

解答 解：（1）g'（x）=3ax²+2x+1
（i）當(dāng)a=0時(shí)，g（x）在$（{-∞，-\frac{1}{2}}）$單調(diào)減和$（{-\frac{1}{2}，+∞}）$單調(diào)增；
（ii）當(dāng)a≠0時(shí)，△=4-12a，
當(dāng)$a≥\frac{1}{3}$時(shí)，g'（x）=3ax²+2x+1≥0恒成立，此時(shí)g（x）在R單調(diào)增；
當(dāng)$0＜a＜\frac{1}{3}$時(shí)，由g'（x）=3ax²+2x+1=0得，
${x_1}=\frac{{-1-\sqrt{1-3a}}}{3a}，{x_2}=\frac{{-1+\sqrt{1-3a}}}{3a}$，
g（x）在（x₁，x₂）單調(diào)減，在（-∞，x₁）和（x₂，+∞）單調(diào)增；
當(dāng)a＜0時(shí)，g（x）在（x₂，x₁）單調(diào)增，在（-∞，x₂）和（x₁，+∞）單調(diào)減；
（2）令$f（x）=lnx+\frac{1}{x}$，則$f'（x）=\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}$
因此，f（x）在（0，1）單調(diào)減，在（1，+∞）單調(diào)增∴f_min（x）=f（1）=1
當(dāng)a＞-1時(shí)，g（1）=a+2＞1=f（1），顯然，對?x∈（0，+∞）不恒有f（x）≥g（x）；
當(dāng)a≤-1時(shí)，由（1）知，g（x）在（0，x₁）單調(diào)增，在（x₁，+∞）單調(diào)減，
$3a{x_1}^2+2{x_1}+1=0$，即$a{x_1}^2=-\frac{1}{3}（{2{x_1}+1}）$
所以，在（0，+∞）上，${g_{max}}（x）=g（{x_1}）=ax_1^3+x_1^2+{x_1}=\frac{1}{3}x_1^2+\frac{2}{3}{x_1}=\frac{1}{3}{（{{x_1}+1}）^2}-\frac{1}{3}$，
又${x_1}=\frac{{-1-\sqrt{1-3a}}}{3a}=\frac{1}{{\sqrt{1-3a}-1}}∈（{0，1}]$
所以${g_{max}}（x）=\frac{1}{3}{（{{x_1}+1}）^2}-\frac{1}{3}≤1={f_{min}}（x）$，
即滿足對?x∈（0，+∞）恒有f（x）≥g（x）
綜上，實(shí)數(shù)a∈（-∞，-1]．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)恒成立問題，考查分類討論思想，是一道中檔題．