Question

12．（1）已知函數f（x）=|x-1|+|x-a|．若不等式f（x）≥a恒成立，求實數a的取值范圍．
（2）如圖，圓O的直徑為AB且BE為圓O的切線，點C為圓O上不同于A、B的一點，AD為∠BAC的平分線，且分別與BC交于H，與圓O交于D，與BE交于E，連結BD、CD．
（Ⅰ）求證：∠DBE=∠DBC； 
（Ⅱ）若HE=4，求ED．

Answer 1

分析 （1）由條件利用絕對值三角不等式求得f（x）≥|a-1|，要使不等式f（x）≥a恒成立，則只要|a-1|≥a，由此求得a的范圍．
（2）（Ⅰ）由條件利用與圓有關的比例線段，弦切角、圓周角的性質，角平分線的性質，證得∠DBE=∠DBC．
（Ⅱ）若HE=4，由條件證得△BDH≌△BDE，可得DE=DH．

解答 解：（1）由不等式的性質得：函數f（x）=|x-1|+|x-a|≥|a-1|，要使不等式f（x）≥a恒成立，則只要|a-1|≥a，
解得：$a≤\frac{1}{2}$，所以實數a的取值范圍為$（{-∞，\frac{1}{2}}]$．
（2）（Ⅰ）證明：∵BE為圓0的切線，BD為圓0的弦，∴根據弦切角定理知∠DBE=∠DAB．
由AD為∠BAC 的平分線知∠DAB=∠DAC，又∠DBC=∠DAC，∴∠DBC=∠DAB，∴∠DBE=∠DBC．
（Ⅱ）解：∵⊙O的直徑AB，∴∠ADB=90°=∠BDE，又由（1）得∠DBE=∠DBH，
再根據BD=BD，可得△BDH≌△BDE，∴DE=DH．
∵HE=4，∴ED=2．

點評 本題主要考查絕對值三角不等式，絕對值不等式的解法，與圓有關的比例線段，屬于中檔題．