Question

17．橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的半焦距為c，若直線y=2x與橢圓一個交點的橫坐標恰為c，則橢圓的離心率為（　�。�

• A． $\frac{2-\sqrt{2}}{2}$
• B． $\frac{2\sqrt{2}-1}{2}$
• C． $\sqrt{3}$-1
• D． $\sqrt{2}$-1

Answer 1

分析 由已知可得：橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1與直線y=2x交于（c，2c）點，代入可得離心率的值．

解答 解：由已知可得：橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1與直線y=2x交于（c，2c）點，
即$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{4c}^{2}}{^{2}}$=1，
即$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{4c}^{2}}{{a}^{2}-{c}^{2}}$=1，
即a⁴-6a²c²+c⁴=0，
即1-6e²+e⁴=0，
解得：e²=3-2$\sqrt{2}$，或e²=3+2$\sqrt{2}$（舍去），
∴e=$\sqrt{2}$-1，或e=1-$\sqrt{2}$（舍去），
故選：D

點評 本題考查的知識點是橢圓的簡單性質(zhì)，根據(jù)已知構(gòu)造關(guān)于a，c的方程，是解答的關(guān)鍵．