Question

2．已知函數(shù)f（x）=|x-a|，其中a＞1．
（1）當(dāng)a=3時(shí)，求不等式f（x）≥4-|x-4|的解集；
（2）若函數(shù)h（x）=f（2x+a）-2f（x）的圖象與x、y軸圍成的三角形面積大于a+4，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）寫成分段函數(shù)的形式，對(duì)x討論，結(jié)合一次不等式的解法，即可得到所求解集；
（2）記h（x）=f（2x+a）-2f（x），運(yùn)用分段形式，求得h（x），由三角形的面積公式可得a²-2a-8＞0，解不等式即可得到所求范圍．

解答 解：（1）當(dāng)a=3時(shí)，f（x）+|x-4|=$\left\{\begin{array}{l}{7-2x，x≤3}\\{1，3＜x＜4}\\{2x-7，x≥4}\end{array}\right.$，
當(dāng)x≤3時(shí)，由f（x）≥4-|x-4|得，7-2x≥4，解得x≤$\frac{3}{2}$；
當(dāng)3＜x＜4時(shí)，f（x）≥4-|x-4|無(wú)解；
當(dāng)x≥4時(shí)，f（x）≥4-|x-4|得，2x-7≥4，解得x≥$\frac{11}{2}$．
∴f（x）≥4-|x-4|的解集為{x|x≤$\frac{3}{2}$或x≥$\frac{11}{2}$}．          
（2）記h（x）=f（2x+a）-2f（x），
則h（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-2a，x≤0}\\{4x-2a，0＜x＜a}\\{2a，x≥a}\end{array}\right.$，
所以S=$\frac{1}{2}$•2a•$\frac{a}{2}$＞a+4，即為a²-2a-8＞0，（a＞1），
解得a＞4．
即有a的取值范圍為（4，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查絕對(duì)值不等式的解法，注意運(yùn)用分類討論的思想方法，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．