Question

12．設函數y=f（x）在區(qū)間（a，b）的導函數f′（x），f′（x）在區(qū)間（a，b）的導函數為f″（x）．若在區(qū)間（a，b）上f″（x）恒成立，則稱函數f（x）在區(qū)間（a，b）上為“凸函數”．已知f（x）=$\frac{1}{12}$x⁴-$\frac{1}{3}$x³-$\frac{3}{2}$x²．若函數f（x）在區(qū)間（a，b）上為“凸函數”，則b-a的最大值為4．

Answer 1

分析 利用導數的運算法則可得f′（x），f^″（x）．由于函數f（x）在區(qū)間（a，b）上為“凸函數”，可得：在區(qū)間（a，b）上f″（x）＜0恒成立，解得即可．

解答 解：∵函數f（x）=$\frac{1}{12}{x}^{4}-\frac{1}{3}{x}^{3}-\frac{3}{2}{x}^{2}$，
∴${f}^{′}（x）=\frac{1}{3}{x}^{3}-{x}^{2}-3x$，
∴f^″（x）=x²-2x-3，
∵函數f（x）在區(qū)間（a，b）上為“凸函數”，
∴在區(qū)間（a，b）上f″（x）＜0恒成立，
由x²-2x-3＜0，解得-1＜x＜3．
∴a=-1，b=3，
∴b-a=3-（-1）=4．
故答案為：4．

點評 本題考查了導數的運算法則、“凸函數”的定義，利用函數單調性和導數之間的關系是解決本題的關鍵，屬于基礎題．