Question

11．已知數(shù)列{a_n}滿足：a₁=a₂=a₃=k（常數(shù) k＞0），a_n+1=$\frac{k+{a}_{n}{a}_{n-1}}{{a}_{n-2}}$（n≥3，n∈N^*）．?dāng)?shù)列{b_n}滿足：b_n=$\frac{{a}_{n}+{a}_{n+2}}{{a}_{n+1}}$（n∈N^*）．
（1）求 b₁，b₂，b₃，b₄的值；
（2）求出數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（3）問(wèn)：數(shù)列{a_n}的每一項(xiàng)能否均為整數(shù)？若能，求出k的所有可能值；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）經(jīng)過(guò)計(jì)算可知：a₄=k+1，a₅=k+2，a₆=k+4+$\frac{2}{k}$，由數(shù)列{b_n}滿足：b_n=$\frac{{a}_{n}+{a}_{n+2}}{{a}_{n+1}}$（n=1，2，3，4…），從而可求求b₁，b₂，b₃，b₄；
（2）由條件可知：a_n+1a_n-2=k+a_na_n-1．得a_n+2a_n-1=k+a_n+1a_n，兩式相減整理得b_n=b_n-2，從而可求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（3）假設(shè)存在正數(shù)k，使得數(shù)列{a_n}的每一項(xiàng)均為整數(shù)則由（2）可知：$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{2n+1}=2{a}_{2n}-{a}_{2n-1}}\\{{a}_{2n+2}=\frac{2k+1}{k}{a}_{2n+1}-{a}_{2n}}\end{array}\right.$，由a₁=k∈Z，a₆=k+4+$\frac{2}{k}$∈Z，可求得k=1，2．證明 k=1，2時(shí)，滿足題意，說(shuō)明k為1，2時(shí)，數(shù)列{a_n}是整數(shù)列．

解答 解：（1）由已知可知：a₄=k+1，a₅=k+2，a₆=k+4+$\frac{2}{k}$．
把數(shù)列{a_n}的項(xiàng)代入b_n=$\frac{{a}_{n}+{a}_{n+2}}{{a}_{n+1}}$，求得b₁=b₃=2，$_{2}=_{4}=\frac{2k+1}{k}$；
（2）由a_n+1=$\frac{k+{a}_{n}{a}_{n-1}}{{a}_{n-2}}$（n≥3，n∈N^*），可知：a_n+1a_n-2=k+a_na_n-1．…①
則：a_n+2a_n-1=k+a_n+1a_n．…②
①-②有：$\frac{{a}_{n}+{a}_{n+2}}{{a}_{n+1}}=\frac{{a}_{n-2}+{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$，即：b_n=b_n-2
∴$_{2n-1}=_{2n-3}=…=_{1}=\frac{{a}_{1}+{a}_{3}}{{a}_{2}}=2$，$_{2n}=_{2n-2}=…=_{2}=\frac{{a}_{2}+{a}_{4}}{{a}_{3}}=\frac{2k+1}{k}$．
∴$_{n}=\frac{4k+1}{2k}+\frac{（-1）^{n}}{2k}$；
（3）假設(shè)存在正數(shù)k，使得數(shù)列{a_n}的每一項(xiàng)均為整數(shù)，
則由（2）可知：$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{2n+1}=2{a}_{2n}-{a}_{2n-1}}\\{{a}_{2n+2}=\frac{2k+1}{k}{a}_{2n+1}-{a}_{2n}}\end{array}\right.$，…③
由a₁=k∈Z，a₆=k+4+$\frac{2}{k}$∈Z，可知k=1，2．
當(dāng)k=1時(shí)，$\frac{2k+1}{k}$=3為整數(shù)，利用a₁，a₂，a₃∈Z，結(jié)合③式，可知{a_n}的每一項(xiàng)均為整數(shù)；
當(dāng)k=2時(shí)，③變?yōu)?\left\{\begin{array}{l}{{a}_{2n+1}=2{a}_{2n}-{a}_{2n-1}}\\{{a}_{2n+2}=\frac{5}{2}{a}_{2n+1}-{a}_{2n}}\end{array}\right.$，…④
用數(shù)學(xué)歸納法證明a_2n-1為偶數(shù)，a_2n為整數(shù)．
n=1時(shí)，結(jié)論顯然成立，假設(shè)n=k時(shí)結(jié)論成立，這時(shí)a_2n-1為偶數(shù)，a_2n為整數(shù)，
故a_2n+1=2a_2n-a_2n-1為偶數(shù)，a_2n+2為整數(shù)，∴n=k+1時(shí)，命題成立．
故數(shù)列{a_n}是整數(shù)列．
綜上所述，k為1，2時(shí)，數(shù)列{a_n}是整數(shù)列．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列的基本性質(zhì)和數(shù)列的遞推公式，考查了學(xué)生的計(jì)算能力和對(duì)數(shù)列的綜合掌握，注意分類討論思想和轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用，屬于中檔題．