Question

4．已知雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左右焦點分別為F₁、F₂，P為雙曲線上一點，且滿足|OP|=$\sqrt{11}$a，|F₁F₂|是|PF₁|與|PF₂|的等比中項，則該雙曲線的離心率為（　�。�

• A． 2
• B． 3
• C． $\sqrt{2}$
• D． $\sqrt{3}$

Answer 1

分析 通過等比數(shù)列雙曲線的定義，余弦定理推出：|OP|²=2a²+3c²．利用|OP|=$\sqrt{11}$a，求出雙曲線的離心率的值．

解答 解：由題意，|PF₁|、|F₁F₂|、|PF₂|成等比數(shù)列可知，|F₁F₂|²=|PF₁||PF₂|，
即4c²=|PF₁||PF₂|，
由雙曲線的定義可知|PF₁|-|PF₂|=2a，即|PF₁|²+|PF₂|²-2|PF₁||PF₂|=4a²，
可得|PF₁|²+|PF₂|²-8c²=4a²…①
設(shè)∠POF₁=θ，則∠POF₂=π-θ，
由余弦定理可得：|PF₂|²=c²+|OP|²-2|OF₂||OP|cos（π-θ），|PF₁|²=c²+|OP|²-2|OF₁||OP|cosθ，
|PF₂|²+PF₁|²=2c²+2|OP|²，…②，
由①②化簡得：|OP|²=2a²+3c²．
因為|OP|=$\sqrt{11}$a，所以2a²+3c²=11a²．
所以e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{3}$．
故選：D．

點評 本題考查雙曲線的定義，余弦定理以及等比數(shù)列的應(yīng)用，是有難度的綜合問題，考查分析問題解決問題的能力．