Question

14．已知數(shù)列{a_n}滿足：a₁=1，a₂=2，正項(xiàng)數(shù)列{b_n}滿足b_n=a_na_n+1（n∈N^*），若{b_n}是公比為2的等比數(shù)列
（Ⅰ）求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）S_n為{a_n}的前n項(xiàng)和，且S_n＞2016恒成立，求正整數(shù)n的最小值n₀．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由$\frac{{{b_{n+1}}}}{b_n}=\frac{{{a_{n+1}}{a_{n+2}}}}{{{a_n}{a_{n+1}}}}=\frac{{{a_{n+2}}}}{a_n}=2$，可得數(shù)列{a_n}奇數(shù)項(xiàng)成等比數(shù)列，偶數(shù)項(xiàng)也成等比數(shù)列，公比都是2．即可得出．
（II）對(duì)n分類討論，利用求和公式即可得出，再利用不等式的性質(zhì)即可得出．

解答 解：（Ⅰ）∵$\frac{{{b_{n+1}}}}{b_n}=\frac{{{a_{n+1}}{a_{n+2}}}}{{{a_n}{a_{n+1}}}}=\frac{{{a_{n+2}}}}{a_n}=2$，∴數(shù)列{a_n}奇數(shù)項(xiàng)成等比數(shù)列，偶數(shù)項(xiàng)也成等比數(shù)列，公比都是2．
∵a₁=1，a₂=2，∴${a_n}=\left\{\begin{array}{l}{（\sqrt{2}）^{n-1}}，n為正奇數(shù)\\{（\sqrt{2}）^n}，n為正偶數(shù)\end{array}\right.$．
（Ⅱ）當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)S_n=（a₁+a₂）+（a₃+a₄）+（a₅+a₆）+…+（a_n-1+a_n）=$3+3•2+3•4+…+3•{2^{\frac{n}{2}-1}}$
=$3•{2^{\frac{n}{2}}}-3$，
由$3•{2^{\frac{n}{2}}}-3＞2016$，得${2^{\frac{n}{2}}}＞673$，∴n≥20．
當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)${S_n}={S_{n-1}}+{a_n}=3•{2^{\frac{n-1}{2}}}-3+{2^{\frac{n-1}{2}}}^{\;}$=$4•{2^{\frac{n-1}{2}}}-3$，
由$4•{2^{\frac{n-1}{2}}}-3≥2016$得 ${2^{\frac{n+3}{2}}}≥2019$，
∴n≥19．
綜上可得，n₀=19．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了遞推公式、數(shù)列求和、不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．