Question

19．已知當1≤x≤2時，不等式x²-kx+k+1≥0恒成立，則實數(shù)k的取值范圍是k≤5．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，分離參數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性，即可得到實數(shù)k的取值范圍．

解答 解：x²-kx+k+1≥0恒成立，即為（x-1）k≤x²+1，
∴k≤$\frac{{x}^{2}+1}{x-1}$，在[1，2]上恒成立，
設(shè)f（x）=$\frac{{x}^{2}+1}{x-1}$，
則f′（x）=$\frac{2x（x-1）-（{x}^{2}+1）}{（x-1）^{2}}$=$\frac{{x}^{2}-2x-1}{（x-1）^{2}}$，
令f′（x）=0，解得x=1-$\sqrt{2}$，x=1+$\sqrt{2}$，
當f′（x）＜0時，即1≤x≤2，函數(shù)單調(diào)遞減，
∴f（x）_min=f（2）=5，
∴k≤5，
故答案為：k≤5

點評 本題考查函數(shù)的恒成立問題，解題的關(guān)鍵是對于所給的函數(shù)式的分離參數(shù)，寫出要求的參數(shù)，再利用函數(shù)的最值解決．