Question

1．如圖，在四棱錐P-ACD中，底面ABCD為等腰梯形，且滿足AB∥CD，AD=DC=$\frac{1}{2}$AB=1，PA=$\sqrt{2}$，PA⊥平面ABCD．
（1）求證：BD⊥平面PAD；
（2）求點A到平面PBD的距離．

Answer 1

分析 （1）在梯形ABCD中，取AB中點E，連結(jié)DE，推導出點D在以AB為直徑的圓上，BD⊥AD，由此能證明BD⊥平面PAD．
（2）利用等體積，求點A到平面PBD的距離．

解答 （1）證明：在梯形ABCD中，取AB中點E，連結(jié)DE，
則DE∥BC，且DE=BC
故DE=$\frac{1}{2}$AB，即點D在以AB為直徑的圓上，
∴BD⊥AD，
∵PA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，
∴BD⊥PA，
∵AD∩PA=A，
∴BD⊥平面PAD．
（2）解：由條件可得∠DAB=60°，S_△ADB=$\frac{1}{2}×1×2×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
△PBD中，BD=$\sqrt{1+4-2×1×2×\frac{1}{2}}$=$\sqrt{3}$，PD=$\sqrt{3}$，PB=$\sqrt{6}$，S_△PBD=$\frac{1}{2}×\sqrt{3}×\sqrt{3}$=$\frac{3}{2}$，
設(shè)點A到平面PBD的距離為h，則由等體積可得$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}×\sqrt{2}=\frac{1}{3}×\frac{3}{2}h$，
∴h=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
∴點A到平面PBD的距離為$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

點評 本題考查了空間位置關(guān)系、線面垂直的判定，考查點到平面距離的計算，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．