Question

11．已知正方體ABCD-A'B'C'D'的棱長為1，下列說法：
①對角線AC'被平面A'BD和平面B'CD'三等分；
②以正方體的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的四面體的體積都是$\frac{1}{6}$；
③正方體的內(nèi)切球，與各條棱相切的球，外接球的表面積之比為1：2：3；
④正方體與以A為球心，1為半徑的球的公共部分的體積為$\frac{π}{3}$；
則正確的是①③．（寫出所有正確的序號）

Answer 1

分析 ①如圖所示，假設(shè)對角線AC₁與平面A₁BD相交于點(diǎn)M，可得AM⊥平面A₁BD．可得 $\frac{1}{3}$AM•$\frac{\sqrt{3}}{4}$×（ $\sqrt{2}$）²=$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$×1²×1，解得AM=$\frac{1}{3}$AC₁，即可判斷出；
②以A₁，B，D，C₁為頂點(diǎn)的三棱錐的體積V=1³-4×$\frac{1}{6}$=$\frac{1}{3}$，不是 $\frac{1}{6}$，即可判斷出；
③設(shè)正方體的內(nèi)切球、與各條棱相切的球、外接球的半徑分別為 $\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$．即可得出表面積之比；
④正方體與以A為球心，1為半徑的球的公共部分的體積V=$\frac{1}{8}$×$\frac{4π}{3}$×1³=$\frac{π}{6}$；

解答 解：①如圖所示，假設(shè)對角線AC₁與平面A₁BD相交于點(diǎn)M，可得AM⊥平面A₁BD．∴$\frac{1}{3}$AM•$\frac{\sqrt{3}}{4}$×（$\sqrt{2}$）²=$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$×1²×1，解得AM=$\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\frac{1}{3}$AC₁，
因此對角線AC₁被平面A₁BD和平面B₁CD₁三等分，正確；
②而以A₁，B，D，C₁為頂點(diǎn)的三棱錐的體積V=1³-4×$\frac{1}{6}$=$\frac{1}{3}$，不是$\frac{1}{6}$，不正確；
③設(shè)正方體的內(nèi)切球、與各條棱相切的球、外接球的半徑分別為$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$．因此表面積之比=4π（$\frac{1}{2}$）²：4π（$\frac{\sqrt{2}}{2}$）²：4π（$\frac{\sqrt{3}}{2}$）²=1：2：3，正確；
④正方體與以A為球心，1為半徑的球的公共部分的體積V=$\frac{1}{8}$×$\frac{4π}{3}$×1³=$\frac{π}{6}$，不正確；
故答案為：①③．

點(diǎn)評 本題考查立體幾何線線、線面、面面位置關(guān)系及體積計(jì)算等知識，考查了空間想象能力，考查了計(jì)算能力，屬于較難題．