Question

1．已知命題P：?b∈（-∞，2），f（x）=x²+bx+c在（-∞，-1）上為減函數(shù)；命題Q：?x₀∈Z，使得2${\;}^{{x}_{0}}$＜1．則在命題￢P∨￢Q，￢P∧￢Q，P∨￢Q，P∧￢Q中任取一個(gè)命題，則取得真命題的概率是$\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 命題P：f（x）=$（x+\frac{2}）^{2}$+c-$\frac{^{2}}{4}$，?b∈（-∞，2），其對(duì)稱軸為x=-$\frac{2}$＞-1，且開口向上，即可得出f（x）在（-∞，-1）上為減函數(shù)，即可判斷出命題P的真假；對(duì)于命題Q：又由2${\;}^{{x}_{0}}$＜1，利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得解得x₀＜0，取x₀=-1∈Z，滿足條件，即可判斷出命題Q真假，再利用復(fù)合命題真假的判定方法可得：在命題￢P∨￢Q，￢P∧￢Q，P∨￢Q，P∧￢Q中，只有P∨￢Q是真命題，再利用古典概率計(jì)算公式即可得出．

解答 解：命題P：?b∈（-∞，2），f（x）=x²+bx+c=$（x+\frac{2}）^{2}$+c-$\frac{^{2}}{4}$，其對(duì)稱軸為x=-$\frac{2}$＞-1，
且開口向上，∴f（x）=x²+bx+c在（-∞，-1）上為減函數(shù)，∴命題P正確；
對(duì)于命題Q：又由2${\;}^{{x}_{0}}$＜1，解得x₀＜0，∴?x₀=-1∈Z，滿足條件，∴命題Q也正確．
在命題￢P∨￢Q，￢P∧￢Q，P∨￢Q，P∧￢Q中，只有P∨￢Q是真命題，其余都是假命題，
故由古典概型的概率計(jì)算公式可知取得真命題的概率是$\frac{1}{4}$．
故答案為：$\frac{1}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了復(fù)合命題真假的判定方法、古典概率計(jì)算公式，考查了推理能力，屬于中檔題．