Question

16．已知O為坐標原點，雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a，b＞0）的右焦點F，以F為圓心，OF為半徑作圓交雙曲線的漸近線于異于原點的兩點A、B，若$（\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{AF}）•\overrightarrow{OF}$＜0，則雙曲線的離心率e的取值范圍為（　�。�

• A． $（1，\sqrt{2}）$
• B． （1，2）
• C． （2，+∞）
• D． $（{1，\frac{1}{2}}）$

Answer 1

分析 如圖，設OF的中點為M，則$（\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{AF}）•\overrightarrow{OF}＜0$等價于$（{2\overrightarrow{AM}}）•（{2\overrightarrow{MF}}）＜0?\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MF}＞0?0＜∠AMF＜\frac{π}{2}$，也就是要求點A的橫坐標${x_A}＞\frac{c}{2}$，求出點A的橫坐標，即可求出雙曲線的離心率e的取值范圍．

解答 解：取M為OF中點，則$（\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{AF}）•\overrightarrow{OF}＜0$等價于$（{2\overrightarrow{AM}}）•（{2\overrightarrow{MF}}）＜0?\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MF}＞0?0＜∠AMF＜\frac{π}{2}$．
也就是要求點A的橫坐標${x_A}＞\frac{c}{2}$．
由$\left\{\begin{array}{l}{（x-c）^2}+{y^2}={c^2}\\ y=\frac{a}x\end{array}\right.$
解得${x_A}=\frac{{2{a^2}}}{c}$，故需$\frac{{2{a^2}}}{c}＞\frac{c}{2}$，解得e＜2，則e∈（1，2）．
故選：B．

點評 本題考查了雙曲線的標準方程與簡單幾何性質(zhì)等知識，考查學生分析解決問題的能力，屬于基礎題．