Question

已知函數(shù)f（x）=log₂

2x-1

2x+2

，
1）判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
2）當(dāng)x∈[1，2]時，求函數(shù)f（x）的最大值和最小值．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）先求出函數(shù)的定義域，再根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，同增異減，問題得以解決．
（2）根據(jù)函數(shù)在[1，2]上的單調(diào)性質(zhì)，即可求出最值．

解答： 解：（1）∵f（x）=log₂

2x-1

2x+2

=log₂（1-

3

2x+2

），
∴

2x-1

2x+2

＞0，
即x＜-1或x＞

1

2

，
設(shè)u=1-

3

2x+2

為增函數(shù)，log₂u為增函數(shù)，
根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，
∴f（x）在（-∞，-1）和（

1

2

，+∞）上單調(diào)遞增．
（2）由（1）知，函數(shù)f（x）在[1，2]上單調(diào)遞增，
故當(dāng)x=1是函數(shù)有最小值，最小值為f（1）=log₂

1

4

=-2，
故當(dāng)x=2是函數(shù)有最大值，最大值為f（2）=log₂

1

2

=-1，

點評：本題主要考查了復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性以及根據(jù)單調(diào)性求最值，關(guān)鍵是注意函數(shù)的定義域，屬于基礎(chǔ)題．