Question

已知關(guān)于x的函數(shù)y=x²-4ax+2a+6，若y≥0恒成立，則函數(shù)f（a）=2-a|a+3|的值域?yàn)椋ā　。?/div>

• A、[-

  19

  4

  ，

  17

  4

  ]
• B、[-2，

  17

  4

  ]
• C、[-

  19

  4

  ，4]
• D、[-2，4]

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考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：先根據(jù)關(guān)于x的函數(shù)y=x²-4ax+2a+6，y≥0恒成立可求出a的取值范圍：-1≤a≤

3

2

，這時(shí)候可求出f（a），并判斷f（a）在[-1，

3

2

]上的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性即可求出函數(shù)f（a）的值域．

解答： 解：對于函數(shù)y=x²-4ax+2a+6，y≥0恒成立，∴△=16a²-4（2a+6）≤0，解得：
-1≤a≤

3

2

；
∴f（a）=2-a|a+3|=2-a（a+3）=-(a+

3

2

)2+

17

4

；
∴f（a）在[-1，

3

2

]上單調(diào)遞減，
∴f（a）∈[f（

3

2

），f（-1）]=[-

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4

，4]；
即f（a）的值域?yàn)閇-

19

4

，4]．
故選C．

點(diǎn)評：考查二次函數(shù)圖象和x軸交點(diǎn)情況和判別式△的關(guān)系，二次函數(shù)的單調(diào)性和對稱軸的關(guān)系．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：先根據(jù)關(guān)于x的函數(shù)y=x²-4ax+2a+6，y≥0恒成立可求出a的取值范圍：-1≤a≤

3

2

，這時(shí)候可求出f（a），并判斷f（a）在[-1，

3

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]上的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性即可求出函數(shù)f（a）的值域．

解答： 解：對于函數(shù)y=x²-4ax+2a+6，y≥0恒成立，∴△=16a²-4（2a+6）≤0，解得：
-1≤a≤

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；
∴f（a）=2-a|a+3|=2-a（a+3）=-(a+

3

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)2+

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；
∴f（a）在[-1，

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2

]上單調(diào)遞減，
∴f（a）∈[f（

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），f（-1）]=[-

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，4]；
即f（a）的值域?yàn)閇-

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，4]．
故選C．

點(diǎn)評：考查二次函數(shù)圖象和x軸交點(diǎn)情況和判別式△的關(guān)系，二次函數(shù)的單調(diào)性和對稱軸的關(guān)系．