Question

12．若拋物線C：y=ax²-1（a≠0）上有不同兩點關(guān)于直線l：y+x=0對稱，則實數(shù)a的取值范圍是（$\frac{3}{4}$，+∞）．

Answer 1

分析 可設(shè)出對稱的兩個點P，Q的坐標(biāo)，利用兩點關(guān)于直線x+y=0成軸對稱，可以設(shè)直線PQ的方程為y=x+b，由于P、Q兩點存在，可得方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=a{x}^{2}-1}\\{y=x+b}\end{array}\right.$，有兩組不同的實數(shù)解，利用中點在直線上消去參數(shù)b，建立關(guān)于a的函數(shù)關(guān)系，求出變量a的范圍．

解答 解：設(shè)拋物線上關(guān)于直線l對稱的兩相異點為P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂），線段PQ的中點為M（x₀，y₀），
設(shè)直線PQ的方程為y=x+b，由于P、Q兩點存在，
∴$\left\{\begin{array}{l}{y=a{x}^{2}-1}\\{y=x+b}\end{array}\right.$，有兩組不同的實數(shù)解，即得方程ax²-x-（1+b）=0有兩個解．①
∵△=1+4a（1+b）＞0．②
x₁+x₂=$\frac{1}{a}$，
由中點坐標(biāo)公式可得，x₀=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=$\frac{1}{2a}$，y₀=x₀+b=$\frac{1}{2a}$+b．
∵M(jìn)在直線L上，
∴0=x₀+y₀=$\frac{1}{2a}$+$\frac{1}{2a}$+b，
即b=-$\frac{1}{a}$，代入②解得a＞$\frac{3}{4}$．
故實數(shù)a的取值范圍（$\frac{3}{4}$，+∞）
故答案為：（$\frac{3}{4}$，+∞）．

點評 本題考查了直線與拋物線的位置關(guān)系，以及對稱問題，考查方程的根與系數(shù)關(guān)系及方程思想的應(yīng)用，屬于中檔題