Question

18．如圖，矩形ABCD中，點E、F、G分別在邊AB、BC、AD上（點E、F、G與矩形的頂點不重合且矩形的邊AD足夠長）．
（1）若AE=1，BE=2，試問：△EFG能否為等邊三角形？若能，求出等邊△EFG的邊長；若不能，說明理由；
（2）若△EFG為等邊三角形，且邊長為2，求AE•BE的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）假設(shè)△EFG能為等邊三角形，設(shè)AG=x，BF=y，推導出1+x²=4+y²=9+（x-y）²，從而y²+4=0，假設(shè)不成立，△EFG不能為等邊三角形．
（2）設(shè)AE=x，BE=y，假設(shè)y＞x，推導出xy=2-y²＜2，再由x＞0．y＞0，能求出AE•BE的取值范圍．

解答 解：（1）假設(shè)△EFG能為等邊三角形，設(shè)AG=x，BF=y，
∵EG=EF=GF，AE=1，BE=2，
∴1+x²=4+y²=9+（x-y）²，
∴$\left\{\begin{array}{l}{8+{y}^{2}=2xy}\\{5+{x}^{2}=2xy}\end{array}\right.$，
∴y²+4=0，這不成立，故假設(shè)不成立，
∴△EFG不能為等邊三角形．
（2）設(shè)AE=x，BE=y，假設(shè)y＞x，
∵△EFG為等邊三角形，且邊長為2，
∴（4-x²）-（4-y²）+（x+y）²=4，
整理，得：xy=2-y²＜2，
∵x＞0．y＞0，∴xy＞0，
∴AE•BE的取值范圍是（0，2）．

點評 本題考查等邊三角形是否存在的判斷，考查滿足等邊三角形時兩邊乘積取值范圍的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意勾股定理的合理運用．