Question

10．已知銳角α，β滿足$\frac{sinα}{cosβ}$+$\frac{sinβ}{cosα}$＜2，設(shè)a=tanαtanβ，f（x）=log_ax，則下列判斷正確的是（　�。�

• A． f（sinα）＞f（cosβ）
• B． f（cosα）＞f（sinβ）
• C． f（sinα）＜f（sinβ）
• D． f（cosα）＜f（cosβ）

Answer 1

分析 反證法的思想可得α+β＜$\frac{π}{2}$，進而可得sinα＜cosβ，a＜1，由對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得．

解答 解：若銳角α，β滿足α+β≥$\frac{π}{2}$，則α≥$\frac{π}{2}$-β，
∴sinα≥sin（$\frac{π}{2}$-β）=cosβ，即$\frac{sinα}{cosβ}$≥1；
同理可得$\frac{sinβ}{cosα}$≥1這與$\frac{sinα}{cosβ}$+$\frac{sinβ}{cosα}$＜2矛盾，
故銳角α，β滿足α+β＜$\frac{π}{2}$，即α＜$\frac{π}{2}$-β，
∴sinα＜sin（$\frac{π}{2}$-β）=cosβ，
∴$\frac{sinα}{cosβ}$＜1且$\frac{sinβ}{cosα}$＜1，
∴0＜a=tanαtanβ=$\frac{sinα}{cosα}$•$\frac{sinβ}{cosβ}$=$\frac{sinα}{cosβ}$•$\frac{sinβ}{cosα}$＜1，
∴f（x）=log_ax單調(diào)遞減，
∴f（sinα）＞f（cosβ）
故選：A．

點評 本題考查三角函數(shù)恒等變換，涉及反證法和函數(shù)的單調(diào)性，屬中檔題．