10.已知銳角α,β滿足$\frac{sinα}{cosβ}$+$\frac{sinβ}{cosα}$<2,設(shè)a=tanαtanβ,f(x)=logax,則下列判斷正確的是( 。
A.f(sinα)>f(cosβ)B.f(cosα)>f(sinβ)C.f(sinα)<f(sinβ)D.f(cosα)<f(cosβ)

分析 反證法的思想可得α+β<$\frac{π}{2}$,進而可得sinα<cosβ,a<1,由對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得.

解答 解:若銳角α,β滿足α+β≥$\frac{π}{2}$,則α≥$\frac{π}{2}$-β,
∴sinα≥sin($\frac{π}{2}$-β)=cosβ,即$\frac{sinα}{cosβ}$≥1;
同理可得$\frac{sinβ}{cosα}$≥1這與$\frac{sinα}{cosβ}$+$\frac{sinβ}{cosα}$<2矛盾,
故銳角α,β滿足α+β<$\frac{π}{2}$,即α<$\frac{π}{2}$-β,
∴sinα<sin($\frac{π}{2}$-β)=cosβ,
∴$\frac{sinα}{cosβ}$<1且$\frac{sinβ}{cosα}$<1,
∴0<a=tanαtanβ=$\frac{sinα}{cosα}$•$\frac{sinβ}{cosβ}$=$\frac{sinα}{cosβ}$•$\frac{sinβ}{cosα}$<1,
∴f(x)=logax單調(diào)遞減,
∴f(sinα)>f(cosβ)
故選:A.

點評 本題考查三角函數(shù)恒等變換,涉及反證法和函數(shù)的單調(diào)性,屬中檔題.

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