Question

17．已知數(shù)列{a_n}滿足a_n+1=a_n+2（n∈N₊）且a₁，a₃，a₇成等比．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式．
（2）設(shè)數(shù)列{b_n}滿足b_n+1-b_n=a_n（n∈N₊）且b₁=2，求數(shù)列$\left\{{\frac{1}{b_n}}\right\}$得前n項的和．

Answer 1

分析 （1）通過a_n+1=a_n+2（n∈N₊）易知數(shù)列{a_n}為公差d=2的等差數(shù)列，利用a₁，a₃，a₇成等比計算可知a₁=4，進而可得結(jié)論；
（2）通過（1）可知b_n+1-b_n=2n+2（n∈N₊），進而b_n-b_n-1=2n（n≥2，且n∈N₊）、b_n-1-b_n-2=2n-2、…、b₂-b₁=4，累加、裂項可知$\frac{1}{_{n}}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，進而并項相加即得結(jié)論．

解答 解：（1）∵a_n+1=a_n+2（n∈N₊），
∴數(shù)列{a_n}為公差d=2的等差數(shù)列，
又∵a₁，a₃，a₇成等比，
∴${（{a_1}+4）^2}={a_1}•（{a_1}+12）$，
解得a₁=4，
∴a_n=2n+2；
（2）由（1）可知b_n+1-b_n=2n+2（n∈N₊），
∴b_n-b_n-1=2n（n≥2，且n∈N₊），
b_n-1-b_n-2=2n-2，
…
b₂-b₁=4，
累加得：b_n-b₁=2•$\frac{（n-1）（2+n）}{2}$，
又∵b₁=2，
∴b_n=n（n+1），
∴$\frac{1}{_{n}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
于是數(shù)列$\left\{{\frac{1}{b_n}}\right\}$得前n項的和為1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$=1-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$．

點評 本題考查數(shù)列的通項及前n項和，利用累加法及裂項相消法是解決本題的關(guān)鍵，注意解題方法的積累，屬于中檔題．