Question

13．已知函數(shù)f（x）=mx-sinx-cosx，g（x）=（ax-1）cosx-2sinx（a＞0）．
（Ⅰ）若函數(shù)y=f（x）在（-∞，+∞）上是單調(diào)遞減函數(shù)，求實(shí)數(shù)m的最大值；
（Ⅱ）若m=1，且對(duì)于任意x∈[0，$\frac{π}{2}$]，都有不等式f（x）≥g（x）成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求導(dǎo)，利用導(dǎo)函數(shù)和原函數(shù)單調(diào)性關(guān)系轉(zhuǎn)換成最值問題，進(jìn)行求解即可；
（2）對(duì)式子 整理可得：x+sinx≥axcosx，分別討論，轉(zhuǎn)換成求函數(shù)最值：a≤$\frac{1}{cosx}$+$\frac{tanx}{x}$，
構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而利用極限的方法求出函數(shù)的最小極限值．

解答 解：（1）f（x）=mx-sinx-cosx，
∴f'（x）=m-cosx+sinx
=m+$\sqrt{2}$sin（x-$\frac{π}{4}$）≤0恒成立，
∴m≤-$\sqrt{2}$，
∴實(shí)數(shù)m的最大值為-$\sqrt{2}$；
（2）m=1，
∴x+sinx≥axcosx，
當(dāng)x=0，或x=$\frac{π}{2}$時(shí)，顯然成立，
當(dāng)x∈（0，$\frac{π}{2}$）時(shí)，
a≤$\frac{1}{cosx}$+$\frac{tanx}{x}$，
令h（x）=$\frac{1}{cosx}$+$\frac{tanx}{x}$，
$\frac{1}{cosx}$顯然在此區(qū)間是增函數(shù)，令p（x）=$\frac{tanx}{x}$，
∴p'（x）=$\frac{x-\frac{1}{2}sin2x}{{x}^{2}co{s}^{2}x}$，令r（x）=x-$\frac{1}{2}$sin2x，
∴r'（x）=1-$\frac{1}{2}$cos2x＞0，
∴r（x）＞r（0）=0，
∴p'（x）＞0，
∴h（x）在區(qū)間（0，$\frac{π}{2}$）上遞增，
∴h（x）＞2，
故a的范圍為a≤2．

點(diǎn)評(píng) 考查了函數(shù)求導(dǎo)和恒成立問題的轉(zhuǎn)換，利用導(dǎo)函數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，利用極限求極限值．