Question

8．已知二次函數(shù)f（x）=ax²-4bx+1（a≠0）．
（1）若a=1，b∈[-1，1]，求函數(shù)y=f（x）在[1，+∞）上是增函數(shù)的概率；
（2）設(shè)（a，b）是區(qū)域$\left\{\begin{array}{l}x+y-8≤0\\ x＞0\\ y＞0\end{array}\right.$，內(nèi)的隨機(jī)點(diǎn)，求函數(shù)y=f（x）在[1，+∞）上的增函數(shù)的概率．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)y=f（x）在[1，+∞）上是增函數(shù)的b 的范圍，利用區(qū)域長度比求概率；
（2）畫出區(qū)域，求出滿足條件的區(qū)域面積，利用面積比求概率．

解答 解：函數(shù)y=f（x）在[1，+∞）上是增函數(shù)，則a＞0且$\frac{2b}{a}≤1$，即a＞0且a≥2b；
（1）因?yàn)閍=1，則$b≤\frac{1}{2}$時(shí)，函數(shù)f（x）為增函數(shù)
所以函數(shù)y=f（x）在[1，+∞）上是增函數(shù)的概率$p=\frac{{\frac{1}{2}-（{-1}）}}{{1-（{-1}）}}=\frac{3}{4}$；
（2）由（1）知當(dāng)且僅當(dāng)a≥2b，且a＞0時(shí)，函數(shù)f（x）=ax²-4bx+1在區(qū)間[1，+∞）上為增函數(shù)，
依條件可知實(shí)驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域?yàn)椴坏仁浇M所表示的平面區(qū)域．
構(gòu)成所求事件的區(qū)域?yàn)閳D中的陰影部分．
由$\left\{\begin{array}{l}a+b-8=0\\ b=\frac{a}{2}\end{array}\right.$，得交點(diǎn)的坐標(biāo)為$（{\frac{16}{3}，\frac{8}{3}}）$，故所求事件的概率為$p=\frac{{\frac{1}{2}×8×\frac{8}{3}}}{{\frac{1}{2}×8×8}}=\frac{1}{3}$．

點(diǎn)評 本題考查了幾何概型公式的運(yùn)用；關(guān)鍵是明確滿足條件的a，b的范圍，找出集合測度（區(qū)域長度，面積或者體積），利用概率公式解答．