Question

1．若函數(shù)f（x）=|asinx+bcosx-1|+|bsinx-acosx|（a，b∈R）的最大值為11，則a²+b²=50．

Answer 1

分析 化簡asinx+bcosx為$\sqrt{{a}^{2}{+b}^{2}}$sin（x+α），化簡bsinx-acosx 為-$\sqrt{{a}^{2}{+b}^{2}}$cos（x+α），可得f（x）的解析式，當f（x）達到最大值時，f（x）=-$\sqrt{{a}^{2}{+b}^{2}}$sin（x+α）+1+$\sqrt{{a}^{2}{+b}^{2}}$cos（x+α）=1+$\sqrt{2}$•$\sqrt{{a}^{2}{+b}^{2}}$cos（x+α+$\frac{π}{4}$），結(jié)合題意可得 1+$\sqrt{2}$•$\sqrt{{a}^{2}{+b}^{2}}$=11，由此求得a²+b²的值．

解答 解：∵asinx+bcosx=$\sqrt{{a}^{2}{+b}^{2}}$（$\frac{a}{\sqrt{{a}^{2}{+b}^{2}}}$sinx+$\frac{\sqrt{{a}^{2}{+b}^{2}}}$cosx）
=$\sqrt{{a}^{2}{+b}^{2}}$sin（x+α），其中，tanα=$\frac{a}$，
又 bsinx-acosx=$\sqrt{{a}^{2}{+b}^{2}}$[$\frac{a}{\sqrt{{a}^{2}{+b}^{2}}}$（-cosx ）+$\frac{\sqrt{{a}^{2}{+b}^{2}}}$sinx]
=-$\sqrt{{a}^{2}{+b}^{2}}$[$\frac{a}{\sqrt{{a}^{2}{+b}^{2}}}$cosx-$\frac{\sqrt{{a}^{2}{+b}^{2}}}$sinx]=-$\sqrt{{a}^{2}{+b}^{2}}$cos（x+α）．
∴函數(shù)f（x）=|asinx+bcosx-1|+|bsinx-acosx|=|$\sqrt{{a}^{2}{+b}^{2}}$sin（x+α）-1|+|$\sqrt{{a}^{2}{+b}^{2}}$cos（x+α）|
f（x）達到最大值時，f（x）=-$\sqrt{{a}^{2}{+b}^{2}}$sin（x+α）+1+$\sqrt{{a}^{2}{+b}^{2}}$cos（x+α）
=1+$\sqrt{2}$•$\sqrt{{a}^{2}{+b}^{2}}$cos（x+α+$\frac{π}{4}$）．
由于函數(shù)f（x）的最大值為11，∴1+$\sqrt{2}$•$\sqrt{{a}^{2}{+b}^{2}}$=11，∴a²+b²=50，
故答案為：50．

點評 本題主要考查輔助角公式，三角恒等變換，余弦函數(shù)的值域，屬于中檔題．