Question

15．$\underset{lim{n}^{2}}{n→∞}$[$\frac{100}{n}$-（$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n+2}$+…+$\frac{1}{n+100}$）]．

Answer 1

分析 將$\frac{100}{n}$=$\frac{1}{n}$+…+$\frac{1}{n}$，代入原式，通分化簡(jiǎn)，再由$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{1}{n}$=0，結(jié)合等差數(shù)列的求和公式，計(jì)算即可得到所求值．

解答 解：原式=$\underset{lim}{n→∞}$n²[（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）+（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$）+…+（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+100}$）]
=$\underset{lim}{n→∞}$（$\frac{{n}^{2}}{{n}^{2}+n}$+$\frac{2{n}^{2}}{{n}^{2}+2n}$+…+$\frac{100{n}^{2}}{{n}^{2}+100n}$）
=$\underset{lim}{n→∞}$（$\frac{n}{n+1}$+$\frac{2n}{n+2}$+…+$\frac{100n}{n+100}$）
=$\underset{lim}{n→∞}$（$\frac{1}{1+\frac{1}{n}}$+$\frac{2}{1+\frac{2}{n}}$+…+$\frac{100}{1+\frac{100}{n}}$）
=1+2+3+…+100=$\frac{1}{2}$×100×（1+100）=5050．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列極限的求法，注意運(yùn)用化簡(jiǎn)變形和重要數(shù)列的極限，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．