Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，已知曲線的參數(shù)方程：（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，以軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.

（1）求曲線的普通方程；

（2）過曲線上一點(diǎn)作直線與曲線交于兩點(diǎn)，中點(diǎn)為，，求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）根據(jù)曲線的參數(shù)方程，得出，則，而，兩式相除整理得，再代入，即參數(shù)方程和普通方程之間進(jìn)行轉(zhuǎn)換，消去參數(shù)，即可得出曲線的普通方程；

（2）設(shè)圓心到直線的距離為，由于，利用直線與圓的弦長公式求出，由，將求的最小值轉(zhuǎn)化為最小，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離，利用點(diǎn)到直線的距離公式求出，即可求出的最小值．

解：（1）已知曲線的參數(shù)方程：（為參數(shù)），

由，得，

即，又，

兩式相除得：，整理得，

代入，得，

整理得，即為曲線的普通方程.

（2）設(shè)圓心到直線的距離為，

則，∴.

由于，

當(dāng)最小時，最小，因為的最小值為圓心到直線的距離，

所以，

所以.