Question

7．二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c，a∈N^*，c≥1，a+b+c≥1，方程ax²+bx+c=0有兩個(gè)小于1的不等正根，則a的最小值為（　�。�

• A． 3
• B． 4
• C． 5
• D． 6

Answer 1

分析 將二次函數(shù)f（x）設(shè)成兩根式形式，根據(jù)條件寫(xiě)出兩根式形式的關(guān)系式，將a分離出來(lái)，然后利用基本不等式求出最值即可．

解答 解：設(shè)f（x）=a（x-p）（x-q），其中p，q屬于（0，1）且p不等于q．
由f（0）≥1及f（1）≥1，可得：apq≥1，a（1-p）（1-q）≥1，
兩式相乘有a²p（1-p）q（1-q）≥1，即a²≥$\frac{1}{p（1-p）q（1-q）}$，
又由基本不等式可得：p（1-p）q（1-q）≤（ $\frac{p+1-p}{2}$）²•（ $\frac{q+1-q}{2}$）²=$\frac{1}{16}$，
由于上式取等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)p=q=$\frac{1}{2}$與已知矛盾，故上式的等號(hào)取不到，
故p（1-p）q（1-q）＜$\frac{1}{16}$，因此得到a²＞16即a＞4，
所以函數(shù)f（x）=5x²-5x+1滿(mǎn)足題設(shè)的所有條件，
因此a的最小值為5．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了函數(shù)與方程的綜合運(yùn)用，以及根的分布問(wèn)題，本題解題的關(guān)鍵是熟練應(yīng)用基本不等式求最值，屬于中檔題目．