Question

12．設(shè)二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c，集合A={x|f（x）=x}．
（1）若A={1，2}，且f（0）=2，求函數(shù)f（x）的解析式及f（x）在區(qū)間[-2，2]上的最大值和最小值；
（2）若A={1}，且a＜0，解關(guān)于x的不等式f（x）＞1．

Answer 1

分析 （1）先求得c=0；若A={1，2}，則說明f（x）-x=0兩根為1，2．利用韋達(dá)定理求a，b，再利用二次函數(shù)圖象與性質(zhì)求解．
（2）若A={1}，得到方程f（x）-x=0有兩個(gè)相等的解都為1，根據(jù)韋達(dá)定理求出a，b，c的關(guān)系式，進(jìn)而可得不等式f（x）＞1的解．

解答 解：（1）∵f（0）=2，
∴c=2
∵A={1，2}，
∴ax²+（b-1）x+2=0有兩根為1，2．
由韋達(dá)定理得，$\left\{\begin{array}{l}\frac{2}{a}=1×2\\ \frac{1-b}{a}=1+2\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}a=1\\ b=-2\end{array}\right.$
∴f（x）=x²-2x+2
∵x∈[-2，2]，
∴M=f（-2）=10，m=f（1）=1
（2）若A={1}，方程ax²+（b-1）x+c=0有兩相等實(shí)根x₁=x₂=1，
根據(jù)韋達(dá)定理得到：$\left\{\begin{array}{l}\frac{c}{a}=1×1\\ \frac{1-b}{a}=1+1\end{array}\right.$，
∴c=a，b=1-2a，
∴f（x）=ax²+bx+c=ax²+（1-2a）x+a，
解：f（x）=1，即ax²+（1-2a）x+a-1=0得：x=1，或x=$\frac{a-1}{a}$，
∵a＜0，
∴$\frac{a-1}{a}$＞1，
故不等式f（x）＞1的解集為：（1，$\frac{a-1}{a}$）

點(diǎn)評 本題考查的知識點(diǎn)是二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是解答的關(guān)鍵．